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uiiiiiii danke 

Den y-Wert des Punktes bestimmen ist zumindest schonmal der erste Schritt.

Die Tangente im Punkt P ist die Gerade, die die Funktion f im Punkt P "berührt" - sie geht also durch den Punkt P und hat die gleiche Steigung wie f im Punkt P. Die Gleichung einer Geraden sieht immer etwa so aus: y=mx + t  -> Wir suchen also die Steigung m und den y-Achsen-Abschnitt t der Geraden.

Dabei nutzen wir für m, dass die Steigung der Tangente und die Steigung von f in P gleich sind.

Um die Steigung von f im Punkt P zu bestimmen brauche ich zunächst die Ableitung (Quotientenregel!):

\(f'(x) = \frac{(3x+1) \cdot (-1) - (3-x) \cdot 3}{(3x+1)^2} = \frac{-3x - 1 -9 +3x}{(3x+1)^2}= \frac{-10}{(3x+1)^2}\)

Nun setze ich den x-Wert von P ein, um die Steigung von f an der Stelle 2 (also in P) und damit auch die Tangentensteigung zu bestimmen:
 

\(f'(-2) = \frac{-10}{(3 \cdot (-2)+1)^2} = \frac{-10}{(-5)^2} = \frac{-10}{25} = -0,4 \\ \rightarrow m=-0,4\)

Die gesuchte Gerade hat also schonmal eine Gleichung der Form y=-0,4x+t.

Um t zu bestimmen setze ich nun noch den Punkt P in die Gerade ein (der muss ja auf der Tangente liegen):

-1 = -0,4 * (-2) +t

-1 = 0,8 + t

-1,8 = t

Die gesuchte Gerade hat also die Gleichung 

y = -0,4x -1,8

Bestimme die Funktion der Tangente im Punkt \(P\) des Graphen der gegebenen Funktion \(f(x)\)

\(f(x)={3-x \over 3x+1} \ ; \ P(-2;y_p)\)

\(\\f(-2)={3-(-2) \over 3 \cdot (-2)+1}={5 \over -5}=-1 \\ -> \quad P(-2;-1)\)

Oder was muss man hier machen?

Klar, aber die Erklärung hast du mit der Kettenregel eigentlich schon geliefert: 

Die äußere Funktion ist f(x)=x², die innere Funktion ist g(x)=ln(x) (und damit f'(x) = 2x, g'(x) = 1/x)

Dann ist f(g(x)) = (ln(x))²

Die Kettenregel liefert den Rest:

Ableitung = f'(g(x)) * g'(x) = 2(ln(x)) * 1/x

Ich leite also das Quadrieren ab wie immer, danach wird noch mit der Ableitung der inneren Funktion nachdifferenziert.

Anderes Beispiel: f(x) = 2(sin(x))³

-> f'(x) = 2*3*(sin(x))² * cos(x) = 6sin²(x)cos(x)

FunFact: " \cdot " im LaTeX-Modus liefert den "hübschen" Malpunkt (rechts): 

\(3 * 2 = 3 \cdot 2\)

Top Danke kannst du bitte noch erklären wie aus \((ln(x))^2\) die Ableitung \(2 * ln(x)*{1 \over x}\) entsteht? Die 2 kommt vom Exponenten und die erste Ableitung von \(ln(x)\) lautet \(1 \over x\) das ist mir klar.

Kettenregel

\(f(g(x)) \ \ \ \ \ \ -> \ \ \ \ \ \ f'(g(x))g'(x)\)

Schreib einfach den Aufgabentext ab. 

Ist immer schwierig, so allgemeine Fragen so zu beantworten, dass die Antwort dann auch hilft - wenn möglich immer das konkrete Problem ;)

Falls in der Angabe ein Bild vorkommt - beschreib's ungefähr, du kannst die Aufgabe auch abfotografieren und das Foto hochladen wenn du möchtest.

Wie mache ich das?

sorry

Das Volumen eines Objektes ist die Größe des von dem Objekt eingeschlossenen Raumes.

Beispielsweise gibt das Volumen eines Milchkartons an, wie viel Milch hineinpasst.

Gemessen wird das Volumen in m³ ("Kubikmeter"), oft auch in dm³ ("Kubikdezimeter"), was das gleiche ist wie l ("Liter").

In der Schule werden Volumen von verschiedenen Körpern berechnet (Würfel, Quader, später auch Kegel, Zylinder, Pyramide etc.). Wenn du die Frage, zu der du hilfe brauchst, posten würdest, kann ich dir gern genauer erklären, was da los ist.

Der Fachbegriff für den Zwischenschritt, der hier nötig ist, ist "Teilweise Radizieren". Dabei wird der Zahl unter der Wurzel "der quadratische Anteil entzogen", man zerlegt die Zahl in ein Produkt aus einem Quadrat (also einer Zahl, deren Wurzel bekannt ist) und einem Rest und zieht dann die Wurzel aus dem Quadrat-Anteil.

Das sieht in deinem Beispiel so aus:

\(\sqrt5 + \sqrt{20} = \ \ \ \ |zerlegen\\ \sqrt5 + \sqrt{4 \cdot 5 } = \ \ \ \ |Wurzel-Rechenregel\\ \sqrt5 + \sqrt4 \cdot \sqrt5 = \ \ \ \ | ausklammern \\ \sqrt5 \cdot (1 + \sqrt4) = \ \ \ \ |\sqrt4 = 2 \\ \sqrt5 \cdot 3 = 3\sqrt5\)

Tipp: Um herauszufinden, wie die Zahl zerlegt werden kann, ist es ratsam, die Primfaktorzerlegung zu bestimmen.

Hier ein Beispiel: 

\(\sqrt{1350} = \sqrt{2 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = \sqrt{(3^2 \cdot 5^2) \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{ 2 \cdot 3} = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{ 2 \cdot 3} = 15 \sqrt6\)

Da hier ein Produkt von Funktionen vorliegt, muss für die Ableitung auch die Produktregel verwendet werden. Für die Ableitung des zweiten Faktors, also von ln(x)^2, wird die Kettenregel benötigt.

Damit folgt dann für die Ableitung:

\(f'(x) = 3x^2 \cdot (ln(x))^2 + x^3 \cdot 2 \cdot ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \\ = 3x^2 \cdot (ln(x))^2 + 2x^2 \cdot ln(x) = \\ = x^2 \cdot ln(x) \cdot ( 3ln(x) + 2)\)

In Zeile 1: Beim ersten Summanden habe ich x³ abgeleitet und ln(x)^2 stehen lassen, beim zweiten Summanden habe ich x³ stehen lassen und ln(x)^2 mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.

mathismyhoby hat recht.

sorry, die Berichtigung von Probolobo kam später.

  !

\(4x+12=8x-8 \quad \quad |+8 \\4x+20=8x \quad \quad \quad |-4x \\20=4x \\x=5\)

Zunächst setze ich den x-Wert in die Funktion ein, um den y-Wert des Punkts P zu bekommen:

\(F(6) = \frac{6^2 - 3}{6+4} = 3,3\)

Also ist der Punkt P(6/3,3). Nun bilde ich die Ableitung (Quotientenregel!), um damit die Tangentensteigung berechnen zu können:

\(F'(x) = \frac{(x+4) \cdot 2x - (x^2-3) \cdot 4}{(x+4)^2} = \frac{2x^2+8x-(4x^2-12)}{(x+4)^2} = \frac{-2x^2+8x+12}{(x+4)^2} \\ \rightarrow Steigung: \ \ m=F'(6) = \frac{-2 \cdot 6^2+8 \cdot 6 +12}{(6+4)^2}= \frac{-12}{100} = -0,12\)

Die Tangente hat also die Form y=-0,12x+t

Um t zu bestimmen setze ich die Koordinaten des Punktes P für x&y ein:

3,3 = -0,12 * 6 +t

3,3 = -0,72 + t   | +0,72

4,02 = t

Damit ist die Tangentengleichung

y = -0,12x + 4,02

Wie vorhin wird erstmal die gesuchte Zahl benannt: x soll die gesuchte Zahl sein.

Dann wird der Satz wieder in eine Gleichung gepackt:

4x + 12 = 8x

Diese können wir nun nach x auflösen:

4x + 12 = 8x    | -4x

12 = 4x   | :4

3 = x

Die gesuchte Zahl ist also 3.

Edit: Habe das "vermindert um 8" überlesen - sorry!. Wir lernen: Aufgabe ordentlich lesen ist immer ein guter Anfang.

Die Gleichung sieht dann so aus, wie der Kollege mathismyhobby das gelöst hat:

4x + 12 = 8x - 8    | -4x

12 = 4x - 8    | +8

20 = 4x   | :4

5 = x

Freut mich - immer gern!

Zunächst ist bei Textaufgaben immer gut, wenn man benennt, was man sucht. In der ersten Aufgabe müssen wir das noch selbst machen - ich nenne die gesuchte Zahl mal y (weil x schon in der zweiten Aufgabe benutzt wird - eigentlich ist auch egal, wie du die nennen willst.)

Dann versuche ich, den Satz in einen Term umzuformen. Das sieht bei der ersten Aufgabe so aus:

\(y + \frac{1}{2} y = 96 \ \ |zusammenfassen \\ \frac{3}{2} y = 96 \ \ | \cdot2 \\ 3y = 192 \ \ | :3 \\ y = 64\)

Die gesuchte Zahl ist also 64.

Bei der zweiten Aufgabe ist der Term etwas aufwändiger:

\(x \cdot 9 +192 = 300 \ \ |-192 \\ 9x = 108 \ \ | :9 \\ x = 12\)

Die gesuchte Zahl x ist also 12.

Sehr gern!

Nein, alles kapiert! Gut Erklärt !

 Vielen Dank

 Liebe Grüße

Sofia

Kein Problem, dann hier nochmal die Antwort mit den vollständigen Angaben:

Jetzt haben wir drei unbekannte. Ich nenne das Kapital von Chef1 x, das von Chef2 y und das von Chef3 z.

Die Angaben liefern folgende Gleichungen:

x+y+z = 56000

x = 2y

z = y+8000

Ich setze die unteren beiden in die erste ein:

2y + y + y + 8000 = 56000

4y + 8000 = 56000   | -8000

4y = 48000    <:4

y = 12000

Mit den ersten beiden Gleichungen folgt

x = 2*12000 = 24000

z = 12000 + 8000 = 20000

Also hat Chef1 24000€ eingesetzt, Chef2 hat 12000€ eingesetzt und Chef3 hat 20000€ eingesetzt.

Bemerkenswert: Der erste Satz - also die Angabe, dass die Chefs sich den Gewinn entsprechend aufteilen - ist für die Lösung der Aufgabe komplett egal.

Ich geb' mir Mühe ;)

Um herauszufinden, wie viel Saft noch im Behälter ist, nehmen wir uns die Menge an Saft, die am Anfang da war (5l), und ziehen alles ab, was in Gläser abgefüllt wurde. Das sind sieben Gläser mit 1/4 l und 3 Gläser mit 1/8 l.

In einem einzigen Zahlterm sieht das so aus:

\(5l - (7 \cdot \frac{1}{4} l + 3 \cdot \frac{1}{8}l)\)

Die Klammer hier ist wichtig, weil wir alle Gläser zusammen abziehen wollen. Ohne Klammer würden wir die 3 Gläser mit 1/8l quasi wieder zurückschütten.

Wir rechnen von hier aus zuerst die Klammer aus (Punkt vor Strich) und ziehen dann ab:

\(5l - (7 \cdot \frac{1}{4} l + 3 \cdot \frac{1}{8}l) = \\ 5l - (\frac{7}{4} l + \frac{3}{8}l) = \\ 5l - ( \frac{7\cdot 2}{4 \cdot 2}l + \frac{3}{8}l) = \\ \frac{5 \cdot 8}{8} l- (\frac{14}{8}l + \frac{3}{8}l) = \\ \frac{40}{8} l - \frac{17}{8}l = \\ \frac{23}{8} l\)

Weil in der Klammer nicht gekürzt werden kann, bringe ich auch die 5l vom Anfang auf den gleichen Nenner. Am Schluss sind dann 23/8 l = 2,875l übrig.

Ich hoffe, das ist klar so. Falls nicht frag' gern nochmal nach!

oh mist ich habe es tatsächlich falsch abgeschrieben es hätte eigentlich heißen sollen 

Drei Firmenchefs teilen den Gewinn ihrer Firma anteilig zum eingesetzten Kapital. Chef I hat doppelt so viel Kapital eingesetzt wie Chef 2. Chef 3 hat 8000 € mehr eingesetzt als Chef 2, zusammen haben sie 56.000 Euro eingesetzt. berechnen sie, wie viel Kapital jeder eingesetzt hat.

Aufgabe 1 ist in einer deiner letzten Fragen schon beantwortet. Wie dort erwähnt ist die Angabe so noch nicht genug für eine eindeutige Lösung, stelle die Frage gern nochmal neu mit korrekter Angabe, falls du dich verschrieben hast.

Für die Flächen-Frage: Die gesuchte Seitenlänge des kleinen Quadrats nenne ich x. 

Der Flächeninhalt des kleinen Quadrats ist dann x², der des großen Quadrats ist (8cm)². 

Außerdem wissen wir, dass der Flächeninhalt des großen Quadrats das vierfache des Flächeninhalts des kleinen Quadrats ist. Das liefert folgende Gleichung:

\(A_{groß} = 4 \cdot A_{klein} \\ (8cm)^2 = 4 \cdot x^2 \\ 64cm^2 = 4 \cdot x^2 \ \ |:4 \\ 16cm^2 = x^2 \ \ |\sqrt. \\ 4cm = x\)

Die gesuchte Seitenlänge ist also 4cm lang.

In der Alters-Aufgabe sind zwei Größen unbekannt: Das Alter des Vaters (nenne ich x) und das Alter des Sohnes (nenne ich y).

"Heute ist der Vater 24Jahre älter" liefert die Gleichung

x = y +24

"In fünf jahren wird der Vater dreimal so alt sein wie der Sohn" liefert die Gleichung

x+5 = 3* (y+5)

Ich setze nun die erste Gleichung in die zweite ein:

y+24 +5 = 3*(y+5)

y +29 = 3y +15   |-y

29 = 2y + 15   |-15

14 = 2y     | :2

7= y

Mit der ersten Gleichung folgt x = 7+24 = 31

Also sind Vater&Sohn heute 31 und 7 Jahre alt.

Hier hast du vermutlich die Aufgabe falsch abgeschrieben - so ist die Aufgabe nicht eindeutig lösbar. Ich vermute, dass eine Angabe fehlt - oder aber es sollten nur zwei Firmenchefs sein.

Falls es zwei Firmenchefs sein sollten, sieht das so aus:

Ich nenne zunächst das Kapital von Chef1 x, das Kapital von Chef2 nenne ich y.

Dann gilt

x+y = 56000

x = 2y

Die zweite Gleichung setze ich in die erste ein: 

2y + y = 56000

3y = 56000   | :3

y = 18666,67€

Damit folgt x=2y = 37333,34€

Also hat Chef1 37333,34€ eingesetzt, Chef2 nur 18666,67€.

Bei solchen Aufgaben ist es ratsam, ein Gleichungssystem aufzustellen und das dann zu lösen.

Ich nenne hier daher das Alter von Lisa "x", das Alter von Luca "y" und das Alter von Mohamed "z"

Dann folgt

x+y+z = 36   ("Zusammen 36")

x = 0,5y        ("Lisa ist halb so alt wie Luca")

z = 1,5y        ("Mohamed ist anderthalb mal so alt wie Luca")

Ich setze nun die unteren beiden in die erste Gleichung ein. Das sieht dann so aus:

0,5y + y + 1,5y = 36 

3y = 36     | :3

z = 12

Mit den unteren beiden Gleichungen folgt dann

x = 0,5 * 12 = 6

y = 1,5 * 12 = 18

Also ist Lisa 6 Jahre alt, Luca ist 12 Jahre alt und Mohamed ist 18 Jahre alt.

Zunächst der Induktionsanfang: n=1:

Dann sieht die untere Gleichung so aus:

\(x_1 = (x_0 -20) \cdot 0,8 +20 = 0,8x_0 -16 + 20 = 0,8x_0 +4\)

Das entspricht der Rekursionsvorschrift von oben, also stimmt die Aussage schonmal für n=1.

Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für die ersten n natürlichen Zahlen gilt. Es ist also

\(x_n = (x_0 -20) \cdot 0,8^n +20.\)

Wir folgern nun, dass die Aussage auch für n+1 gilt. Dafür nutzen wir im ersten Schritt die Rekursionsvorschrift und wenden dann die Induktionsvoraussetzung an:

\(x_{n+1} = 0,8x_n +4 = \\ = 0,8 \cdot ((x_0-20) \cdot 0,8^n +20) +4 = \\ = 0,8 \cdot (x_0-20) \cdot 0,8^n + 0,8 \cdot 16 +4= \\ = (x_0-20) \cdot 0,8^{n+1} +20\)

Damit folgt die Aussage. Der Wert von x₀ aus dem vorherigen Aufgabenteil ist für die Aussage nicht relevant, sie gilt also für alle werte von x₀.

Das sollte funktionieren, indem du für beide Werte einen Funktionsterm aufstellst, der ihre Entwicklung im Lauf der Zeit darstellt und die beiden Funktionen dann gleichsetzt.

Wenn du die konkrete Aufgabe posten würdest, könnte man dir vermutlich auch konkreter helfen.