Bosco

avatar
BenutzernameBosco
Punkte1827
Membership
Stats
Fragen 0
Antworten 1052

 #2
avatar+1827 
0

 

Let $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots,$ $a_8,$ $a_9,$ $a_{10}$ be an arithmetic sequence. If $a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 5$ and $a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = -2$, then find $a_1$.     

 

a1 + a3 + a5 + a7 +  a9  =   +5        (call this equation 1)     

a2 + a4 + a6 + a8 + a10  =  – 2        (call this equation 2)     

 

subtract (eq 1) from (eq 2) to obtain     

a2 – a1 + a4 – a3 + a6 – a5 + a8 – a7 + a10 – a9  =  – 7     

 

add parentheses for clarity to show relationship     

(a2 – a1) + (a4 – a3) + (a6 – a5) + (a8 – a7) + (a10 – a9)  =  – 7     

 

Let the common difference between terms be called "d"     

 

remember that (a2 – a1) = d and so on for (a4 – a3) and the rest      

 

(a2 – a1) + (a4 – a3) + (a6 – a5) + (a8 – a7) + (a10 – a9)  =  – 7     

      d       +      d       +       d       +       d       +        d        =  – 7     

                                                                                   5d  =  – 7     

                                                                                     d  =  – 7 / 5     

 

per (eq 1)     a1 + (a+ 2d)      + (a+ 4d)     + (a+ 6d)     + (a+ 8d)       =  5     

                     a1 + (a1 – 14 / 5) + (a1 – 28 / 5) + (a1 42 / 5) + (a1 56 / 5)  =  5     

                                                                                          5a1 + (– 140 / 5)  =  5     

                                                                                                      5a1 – 28  =  5     

                                                                                                              5a1  =  33     

                                                                                                                a1  =  33 / 5     

 

check answer     

 

from (eq 2)     a2 + a4 + a6 + a8 + a10  =  – 2     and we know that a2  =  a1 – 7 / 5  =  26 / 5     

                     (26 / 5) + (26 / 5 – 14 / 5) + (26 / 5 – 28 / 5) + (26 / 5 – 42 / 5) + (26 / 5 – 56 / 5)  =?  – 2     

                     (5)(26 / 5) + (– 140 / 5)  =?  – 2     

                          (130 / 5) – (140 / 5)  =?  – 2     

                                             – 10 / 5  =?  – 2     

                                                    – 2  =  – 2   true     

.     

29.07.2025