+521 Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion:
\(f(x)=x^3*(ln(x))^2\)
Soweit bin ich:
\(f`(x)=3x^2*({1 \over x}*{1 \over x})\)
Gem. Ableitungsübersicht gilt Funktion -> Ableitung
für \(ln(x)\) -> \({1 \over x}\)
+3976 Da hier ein Produkt von Funktionen vorliegt, muss für die Ableitung auch die Produktregel verwendet werden. Für die Ableitung des zweiten Faktors, also von ln(x)^2, wird die Kettenregel benötigt.
Damit folgt dann für die Ableitung:
\(f'(x) = 3x^2 \cdot (ln(x))^2 + x^3 \cdot 2 \cdot ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \\ = 3x^2 \cdot (ln(x))^2 + 2x^2 \cdot ln(x) = \\ = x^2 \cdot ln(x) \cdot ( 3ln(x) + 2)\)
In Zeile 1: Beim ersten Summanden habe ich x³ abgeleitet und ln(x)^2 stehen lassen, beim zweiten Summanden habe ich x³ stehen lassen und ln(x)^2 mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.
+521 Top Danke 
kannst du bitte noch erklären wie aus \((ln(x))^2\) die Ableitung \(2 * ln(x)*{1 \over x}\) entsteht? Die 2 kommt vom Exponenten und die erste Ableitung von \(ln(x)\) lautet \(1 \over x\) das ist mir klar.
Kettenregel
\(f(g(x)) \ \ \ \ \ \ -> \ \ \ \ \ \ f'(g(x))g'(x)\)
+3976 Klar, aber die Erklärung hast du mit der Kettenregel eigentlich schon geliefert:
Die äußere Funktion ist f(x)=x², die innere Funktion ist g(x)=ln(x) (und damit f'(x) = 2x, g'(x) = 1/x)
Dann ist f(g(x)) = (ln(x))²
Die Kettenregel liefert den Rest:
Ableitung = f'(g(x)) * g'(x) = 2(ln(x)) * 1/x
Ich leite also das Quadrieren ab wie immer, danach wird noch mit der Ableitung der inneren Funktion nachdifferenziert.
Anderes Beispiel: f(x) = 2(sin(x))³
-> f'(x) = 2*3*(sin(x))² * cos(x) = 6sin²(x)cos(x)
FunFact: " \cdot " im LaTeX-Modus liefert den "hübschen" Malpunkt (rechts):
\(3 * 2 = 3 \cdot 2\)
+521 Bestimme die Funktion der Tangente im Punkt \(P\) des Graphen der gegebenen Funktion \(f(x)\)
\(f(x)={3-x \over 3x+1} \ ; \ P(-2;y_p)\)
\(\\f(-2)={3-(-2) \over 3 \cdot (-2)+1}={5 \over -5}=-1 \\ -> \quad P(-2;-1)\)
Oder was muss man hier machen?
+3976 Den y-Wert des Punktes bestimmen ist zumindest schonmal der erste Schritt.
Die Tangente im Punkt P ist die Gerade, die die Funktion f im Punkt P "berührt" - sie geht also durch den Punkt P und hat die gleiche Steigung wie f im Punkt P. Die Gleichung einer Geraden sieht immer etwa so aus: y=mx + t -> Wir suchen also die Steigung m und den y-Achsen-Abschnitt t der Geraden.
Dabei nutzen wir für m, dass die Steigung der Tangente und die Steigung von f in P gleich sind.
Um die Steigung von f im Punkt P zu bestimmen brauche ich zunächst die Ableitung (Quotientenregel!):
\(f'(x) = \frac{(3x+1) \cdot (-1) - (3-x) \cdot 3}{(3x+1)^2} = \frac{-3x - 1 -9 +3x}{(3x+1)^2}= \frac{-10}{(3x+1)^2}\)
Nun setze ich den x-Wert von P ein, um die Steigung von f an der Stelle 2 (also in P) und damit auch die Tangentensteigung zu bestimmen:
\(f'(-2) = \frac{-10}{(3 \cdot (-2)+1)^2} = \frac{-10}{(-5)^2} = \frac{-10}{25} = -0,4 \\ \rightarrow m=-0,4\)
Die gesuchte Gerade hat also schonmal eine Gleichung der Form y=-0,4x+t.
Um t zu bestimmen setze ich nun noch den Punkt P in die Gerade ein (der muss ja auf der Tangente liegen):
-1 = -0,4 * (-2) +t
-1 = 0,8 + t
-1,8 = t
Die gesuchte Gerade hat also die Gleichung
y = -0,4x -1,8
+521 Danke, nochmal eine Aufgabe:
\(f(x)= \sqrt{3x+1} \ \ ; \ P(1;y_p)\)
\(f(1)= \sqrt{3+1} =2 \\ ->\ \ \ P(1;2)\)
\(\\Regel: \\ \sqrt{g(x)} \ \ \ -> \ \ \ {g'(x) \over 2 \sqrt{g(x)}} \) \(y=m\cdot x + t\)
\(f'(x)= {3+0 \over 2\sqrt{3x+1}} \\ \\ f'(1)= {3+0 \over 2\sqrt{3+1}}={3 \over 4}=m \\ y=mx + t \\ \\2={3 \over 4}x+t \\2={3 \over 4}\cdot 1+t \\2={3 \over 4}+t \\t={5 \over 4}\)
\(y={3 \over 4}x+{5 \over 4}\)
+521 Bestimme die Normalenfunktion im Punkt \(P\) des Graphen von \(f(x)\)
\(f(x)= {1 \over x^2-3} \ \ \ ; \ \ \ P(2;y_p)\)
Regeln
\(k_n=- {1 \over k} \quad \quad \quad y=m \cdot x+a\)
Berührungspunkt
\(f(2)= {1 \over 2^2-3} =1=y\)
Berechnen der Steigung \(k\)
\(k=f'(x)={0 \cdot (x^2-3)-1 \cdot (2x-0) \over (x^2-3)^2 }\) \(k=f'(2)={0 \cdot (2^2-3)-1 \cdot (4-0) \over (2^2-3)^2 }={-4 \over 1}=-4\)
Berechnen der Steigung \(k_n\)
\(k_n= -{1 \over k}= {1 \over 4}=m\)
Einsetzen in Geradengleichung
\(1= {1 \over 4} \cdot 2 + d \\1= {2 \over 4} + d \\d= {2 \over 4} \)
Ergebnis
\(y={1 \over 4}x+{1 \over 2}\)
+521 Finde alle Nullstellen auf 5 Nachkommastellen genau mit dem Newton-Verfahren von der Funktion
\(f(x)=e^x-x^3+\sqrt x-1.5\)
Hinweis: Die Funktion ist nur für positive x-Werte definiert.
Regeln
\(x=x_0-{f(x_0) \over f'(x_0)} \\ x_{n+1}=x_n-{f(x_n) \over f'(x_n)}\)
Rechnung
Ausprobieren Startwert
\(f(3)=e^3-3^3+\sqrt 3-1.5=-6,68241... \\f(1)=e^1-1^3+\sqrt 1-1.5=1,21828\)
\(f(x)=e^x-x^3+\sqrt x-1.5\)
\(f'(x)=e^x-3x^2+{1 \over 2 \cdot \sqrt x}\)
| \(n\) | \(x_n\) | \(f(x_n)\) | \(f'(x_n)\) |
| 0 | 1 | 1.21828 | -5.78172 |
| 1 | 1.21071 | 1.18151 | -0.58717 |
| 2 | 3.22292 | -8.0806 | -5.78182 |
| 3 | 1.82533 | -0.02579 | -3.42056 |
| 4 | 1.81779 | -0.000145 | -3.384 |
| 5 | 1.81775 | -0.000000318309 | -3.38379 |
| 6 | ... | ||
| 7 | |||
| 8 |
|
Wertetabelle
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| \(y\) | -0.5 | 1.21828 | -0.69673 | -6.68241 | -8.90185 | 24.1492 | 188.378 | 754.779 |
+3976 Bis jetzt sieht's gut aus. Deine Ableitung stimmt und die Anwendung des Newton-Verfahrens passt auch.
Für die Startwerte ist es (wie von Omi67 erwähnt) sinnvoll, die Funktion erstmal zu zeichnen. So hast du Startwerte, die schon recht nah bei den Nullstellen sind, was sicherstellt, dass das Newton-Verfahren auch die gewünschten Ergebnisse liefert.
Insbesondere ist dann klar, wie viele Nullstellen die Funktion hat - damit du dann weisst, wann du fertig bist.
Für die Zeichnung der Funktion kann man gern einen Funktionsplotter nehmen (google einfach "Funktionsplotter", da gibt's viele). Sollst du die Aufgabe in der Schule und ohne technische Hilfsmittel lösen wirst du wohl eine Wertetabelle machen müssen.
+12530 Hallo, ich habe dir mal die Kurve mit DESMOS gezeichnet. Dann hast du ungefähr eine Ahnung, wo die Nullstellen liegen.
Eigentlich muss man zunächst eine Wertetabelle aufstellen.
x
f(x) .....
Wenn bei f(x) ein Vorzeichenwechsel erfolgt, liegt dazwischen eine Nullstelle.
So wie in diesem Beispiel. Dann findet man den Startwert schnell.
Hier noch der Graph deiner Funktion:
https://www.ableitungsrechner.net/
+521 Gib die Näherungswerte an, die man erhält, wenn man die Nullstelle von \(f(x)\) ausgehend vom Startwert \(x_0\) auf \(n\) Nachkommastellen genau bestimmen will.
\(f(x)=x^3-x-1 \ ; \ \ x_0=1.5 \ ; \ \ n=5\)
\(x=x_0-{f(x_0) \over f'(x_0)}\)
\(x_1=x_0-{x_0^3-x_0-1 \over 3 \cdot x_0^2-1} \\ \ \\ x_1=1.5-{1.5^3-1.5-1 \over 3 \cdot 1.5^2-1}=1.34783\)
\(x_2=x_1-{x_1^3-x_1-1 \over 3 \cdot x_1^2-1} \\ \ \\ x_2=1.34783-{1.34783^3-1.34783-1 \over 3 \cdot 1.34783^2-1}=1.3252\)
Fortsetzung folgt...
+521 Bilde die 1. Ableitungsfunktion \(x→ y'\) also die 1. Ableitung der Funktion \(x→ y \)
a)
\(y=x \sqrt{x+3}\)
+3976 Wenn du neue Fragen stellst, die mit dem vorhergehenden nix zu tun haben, poste die auch als neue Fragen - dann ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass du zügig antworten bekommst (und auch die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem ähnlichen Problem deine Frage/Antwort findet).
Trotzdem die Lösung hier - Produktregel ist das Stichwort, für die Wurzel brauche ich außerdem die Kettenregel.
\(f(x) = x \sqrt{x+3} = x \cdot (x+3)^{\frac{1}{2}} \\ \rightarrow f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x+3} + x \cdot \frac{1}{2} \cdot (x+3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \sqrt{x+3} + \frac{x}{2 \cdot \sqrt{x+3}} = \sqrt{x+3} \cdot (1 + \frac{x}{2x+6})\)
(Im letzten Schritt Klammere ich die Wurzel aus und nutze im Nenner des Bruches, dass \(2 \cdot \sqrt{x+3}\cdot \sqrt{x+3} = 2(x+3)=2x+6\).)
(Falls Nullstellen gesucht sind/wären: Die Ableitung ist 0 wenn 1+x/(2x+6)=0
=> -x = 2x+6
-3x = 6
x=-2 )
