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Die Größe einer Population zum Zeitpunkt n∈N0 werde mit xn bezeichnet. Die Population unterliege dem folgenden rekursiv definierten Entwicklungsgesetz

 

xn+1 = 0,8 · xn + 4.

 

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die explizite Darstellung von xn für einen beliebigen Anfangswert x0 gegeben ist durch

 

x=  (x0 − 20) · 0,8n + 20.

 

x0 war für den vorherigen Aufgabenteil 120.

 04.01.2020
 #1
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Zunächst der Induktionsanfang: n=1:

Dann sieht die untere Gleichung so aus:

\(x_1 = (x_0 -20) \cdot 0,8 +20 = 0,8x_0 -16 + 20 = 0,8x_0 +4\)

Das entspricht der Rekursionsvorschrift von oben, also stimmt die Aussage schonmal für n=1.

 

Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für die ersten n natürlichen Zahlen gilt. Es ist also

\(x_n = (x_0 -20) \cdot 0,8^n +20.\)

 

Wir folgern nun, dass die Aussage auch für n+1 gilt. Dafür nutzen wir im ersten Schritt die Rekursionsvorschrift und wenden dann die Induktionsvoraussetzung an:

 

\(x_{n+1} = 0,8x_n +4 = \\ = 0,8 \cdot ((x_0-20) \cdot 0,8^n +20) +4 = \\ = 0,8 \cdot (x_0-20) \cdot 0,8^n + 0,8 \cdot 16 +4= \\ = (x_0-20) \cdot 0,8^{n+1} +20\)

 

Damit folgt die Aussage. Der Wert von x0 aus dem vorherigen Aufgabenteil ist für die Aussage nicht relevant, sie gilt also für alle werte von x0.

 13.06.2020

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