Die Größe einer Population zum Zeitpunkt n∈N0 werde mit xn bezeichnet. Die Population unterliege dem folgenden rekursiv definierten Entwicklungsgesetz
xn+1 = 0,8 · xn + 4.
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die explizite Darstellung von xn für einen beliebigen Anfangswert x0 gegeben ist durch
xn = (x0 − 20) · 0,8n + 20.
x0 war für den vorherigen Aufgabenteil 120.
+3976 Zunächst der Induktionsanfang: n=1:
Dann sieht die untere Gleichung so aus:
x1=(x0−20)⋅0,8+20=0,8x0−16+20=0,8x0+4
Das entspricht der Rekursionsvorschrift von oben, also stimmt die Aussage schonmal für n=1.
Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für die ersten n natürlichen Zahlen gilt. Es ist also
xn=(x0−20)⋅0,8n+20.
Wir folgern nun, dass die Aussage auch für n+1 gilt. Dafür nutzen wir im ersten Schritt die Rekursionsvorschrift und wenden dann die Induktionsvoraussetzung an:
xn+1=0,8xn+4==0,8⋅((x0−20)⋅0,8n+20)+4==0,8⋅(x0−20)⋅0,8n+0,8⋅16+4==(x0−20)⋅0,8n+1+20
Damit folgt die Aussage. Der Wert von x0 aus dem vorherigen Aufgabenteil ist für die Aussage nicht relevant, sie gilt also für alle werte von x0.
