Die Größe einer Population zum Zeitpunkt n∈N0 werde mit xn bezeichnet. Die Population unterliege dem folgenden rekursiv definierten Entwicklungsgesetz
xn+1 = 0,8 · xn + 4.
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die explizite Darstellung von xn für einen beliebigen Anfangswert x0 gegeben ist durch
xn = (x0 − 20) · 0,8n + 20.
x0 war für den vorherigen Aufgabenteil 120.
+3976 Zunächst der Induktionsanfang: n=1:
Dann sieht die untere Gleichung so aus:
\(x_1 = (x_0 -20) \cdot 0,8 +20 = 0,8x_0 -16 + 20 = 0,8x_0 +4\)
Das entspricht der Rekursionsvorschrift von oben, also stimmt die Aussage schonmal für n=1.
Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für die ersten n natürlichen Zahlen gilt. Es ist also
\(x_n = (x_0 -20) \cdot 0,8^n +20.\)
Wir folgern nun, dass die Aussage auch für n+1 gilt. Dafür nutzen wir im ersten Schritt die Rekursionsvorschrift und wenden dann die Induktionsvoraussetzung an:
\(x_{n+1} = 0,8x_n +4 = \\ = 0,8 \cdot ((x_0-20) \cdot 0,8^n +20) +4 = \\ = 0,8 \cdot (x_0-20) \cdot 0,8^n + 0,8 \cdot 16 +4= \\ = (x_0-20) \cdot 0,8^{n+1} +20\)
Damit folgt die Aussage. Der Wert von x0 aus dem vorherigen Aufgabenteil ist für die Aussage nicht relevant, sie gilt also für alle werte von x0.
