Zunächst sammeln wir alle Formeln ein, die für die Aufgabe nötig sind, also Mantelfläche, Oberfläche & Volumen:
\(M = \pi \cdot r \cdot s \\ O = r^2 \pi + M \\ V = \frac{1}{3} \cdot G h = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot h\)
Wir wissen außerdem, dass \(\frac{r}{s} = \frac{5}{8} \rightarrow r = \frac{5}{8} \cdot s\)
Diese Info können wir in die Gleichung für die Mantelfläche einsetzen:
\(M = \pi \cdot \frac{5}{8}s \cdot s \\ 650cm^2 = \frac{5 \pi} {8} s^2 \ \ |:( \frac{5 \pi} {8}) \\ 331,04cm^2 = s^2 \ \ | \sqrt. \\ 18,2cm = s\)
Damit folgt außerdem gleich der Radius, nämlich 18,2* 5/8 = 11,4.
Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Höhe h des Kegels berechnet werden: h steht senkrecht auf dem Radius r und bildet zusammen mit der Mantellinie s (Hypothenuse!) ein rechtwinkliges Dreieck, es ist h² + r² = s² .
\(h^2 + r^2 = s^2 \\ h^2 = s^2 - r^2 \\ h = \sqrt {s^2-r^2} = \sqrt{(18,2cm)^2 - (11,4cm)^2} = 14,2cm\)
Damit sind alle Größen bekannt, die für die Volumen- und Oberflächenformel nötig sind. Einsetzen liefert die gewünschten Ergebnisse:
\(O = r^2 \pi + M \\ O = (11,4cm)^2 \pi + 650cm^2 \\ O = 408,2cm^2 + 650cm^2 \\ O = 1058,2cm^2 \\ und\\ V = \frac{1}{3}r^2 \pi \cdot h \\ V = \frac{1}{3} \cdot (11,4cm)^2 \cdot \pi \cdot 14,2cm \\ V = 1932,5cm^3 \approx 1,9dm^3\)
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