+14995 Für was braucht man Terme?
Hallo Gast!
In der Mathematik ist ein Term eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen, Symbolen für mathematische Verknüpfungen und Klammern.
In der Praxis wird der Begriff häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden. So kann man bspw. für die lineare Funktion \( {\displaystyle f(x)=mx+b}\) von einem linearen Term \( {\displaystyle mx}\) und einem konstanten Term \({\displaystyle b}\) reden.
Aus: https://de.wikipedia.org/wiki/Term
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+14995 Hallo Abiturient!
Ich setze voraus, dass die Zielfunktion z(x)= -0,25x^4-0,75x^3+5x bei der Aufgabe angegeben ist.
Ein Eckpunkt des Rechtecks ist \(P_1(0;0).\)
Der diagonal gegenüberliegende Eckpunkt, der auf dem Graph liegt, ist \(P_2(x;z(x))\).
x ist die gesuchte Länge der Grundseite des Rechtecks. z(x) ist die Höhe des Rechtecks.
Die Seiten des Rechtecks sind: die X-Achse, die Vertikale über x, die Horizontale durch z(x) und die Y-Achse.
Wir suchen das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist gleich Grundseite mal Höhe: \(\color{blue}A(x)=x\cdot z(x)\).
In diese Gleichung setzen wir den Term der Zielfunktion z(x) ein.
\(A(x)=x\cdot (-0,25x^4-0,75x^3+5x)\\ \color{blue}A(x)=-0,25x^5-0,75x^4+5x^2\).
Zum Bestimmen der Extrema ist die Funktion A(x) zu differenzieren. Die Ableitung wird gleich Null gesetzt.
\(\frac{dA(x)}{dx}=\color{blue}-1,25x^4-3x^3+10x=0\)
Mit Hife von http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm
konnte ich die Nullstellen ermitteln. Für Polynomdivision sehe ich keine Möglichkeit. Das klappt nur mit rationellen Ergebnissen. Es muss ja aufgehen.
\(\color{blue}x\in \{0;\ 1,4428\}\)
\(Bei\ x=0\ hat\ die\ Funktion\ A(x)\ ein\ Minimum.\)
Die gesuchte Grundseite des Rechtecks ist \(\color{blue}x=1,4428 \)
Die Höhe des Rechtecks ist
\(z(x)_h=-0,25x^4-0,75x^3+5x\\ =-0,25\cdot (1,4428)^4-0,75\cdot (1,4428)^3+5\cdot (1,4428 )\)
\(\color{blue}z(x)_h=3,878\)
Die maximale Fläche des Rechtecks
\(A(1,4428)=-0,25\cdot (1,4428)^5-0,75\cdot (1,4428)^4+5\cdot (1,4428)^2\\ \color{blue}A(1,4428)=5,595\)
Es würde mich freuen, wenn du mir mitteilst, ob meine Beschreibung verständlich ist. Bitte fragen, wenn etwas nicht klar ist. Anscheinend wird das Ableiten einer Potenzfunktion noch nicht voll beherscht.
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+3976 Dazu müsste man noch wissen, wie viele Karten du pro Spiel ziehst. Geht's zufällig um Magic: The Gathering und Länder? :D
Beim Ziehen von Karten von einem Stapel geht's auf jeden Fall um "Ziehen ohne Zurücklegen", daher muss hypergeometrische Verteilung genutzt werden. Den Begriff lernt man im Abi zwar nicht, die nötige Formel aber schon. Davon ausgehend, dass die Theorie hier weniger relevant ist, ist für die Berechnungen folgender Rechner zu empfehlen:
https://stattrek.com/online-calculator/hypergeometric.aspx
Lass mich dazu ein bisschen mehr erzählen:
Angenommen, es ginge zunächst darum, wie viele der "gewünschten" Karten du in deiner Starthand von (im MtG-Fall) 7 Karten hältst.Wir sagen weiterhin, dass wir in dieser 7-Karten-Hand zwischen 3 und 5 der gewünschten Karten haben möchten.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das passiert, bekommen wir mit dem oben empfohlenen Rechner. Unsere "Population Size" ist 40, die "Number of successes in population" ist 18. Die "Sample Size" ist 7.
Wir suchen P(3≤X≤5) = P(X≤5) - P(X≤2) = 0.976386913 - 0.297297297 = 0.679089616 = 68%
D.h. in jedem Spiel haben wir mit 68% Wahrscheinlichkeit zwischen 3 und 5 der gesuchten Karten in der Hand.
Auch den Erwartungswert können wir dann berechnen, dazu passt die Formel von Wiki: https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswert_einer_diskreten_reellen_Zufallsvariable
(Die besteht im Prinzip aus "Ergebnis mal zugehörige Wahrscheinlichkeit, dann alles zusammenzählen")
Dafür brauchen wir (wieder in unserer 7er-Starthand) die Wahrscheinlichkeiten, genau X der gewünschten Karten zu ziehen (für alle möglichen X, also 0-7). Die bekommen wir wieder mit dem oben genannten Rechner.
Es ergibt sich
E(X) = 0*0.009147609 + 1*0.072037422 + 2*0.216112266 + 3*0.32016632 + 4*0.252762884 + 5*0.106160411 + 6*0.021906117 + 7*0.00170697 = 3,15
Wir haben also durchschnittlich 3,15 der gewünschten Karten in der Hand.
Der Rechner kann dir da ganz viele spannende Fragen beantworten, zB. auch mit welcher Wahrscheinlichekeit du mindestens eine der gewünschten Karten, höchstens 5 der gewünschten Karten o.Ä in deiner Starthand (oder den ersten 10 Karten oder oder oder) hast. Sehr zu empfehlen.
Ich hoff' das hilft schonmal, frag' gern mehr nach wenn du weitere Fragen dazu hast. Bin selbst begeisterter Kartenspieler und beschäftige mich gern mit dem Stochastik-Aspekt davon - ist eine gute Möglichkeit, sich einen Vorteil zu erarbeiten, bevor das Spiel überhaupt startet! ;)
