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avatar+19 

Hey ich hänge schon an einigen Tagen an folgender Aufgabe:

 

 

Ich muss entscheiden ob folgende Mengen (i-iv) nach oben bzw. nach unten beschränkt sind und gegebfalls das Supremum oder Infinimum angeben.Außerdem muss ich weiter festellen ob M ein Maximum oder Minimum besitzt.

Leider stehe ich komplett auf den Schlauch bei dieser Aufgabe und brauche hilfe...

 

Liebe Grüße,

noob420

 10.05.2022
bearbeitet von noob420  10.05.2022
 #2
avatar+3609 
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Ich zeig's mal für (ii), vielleicht reicht dir das, um den Rest zu lösen. Wenn nicht bist du natürlich gern einegeladen, weiter zu fragen.

 

(ii) ist nicht nach oben beschränkt, denn: Ist x in M enthalten, so ist x erstmal positiv (klar, oder?).

Daher ist dann auch x+1 in M, denn (x+1)3 = x3+3x2+3x+1 > x3 > 8, denn x war in M. Für jedes x in M ist also auch x+1 in M, daher kann die Menge m nicht beschränkt sein. Somit existiert sup(M) nicht.

Bei der Beschränkung nach unten läuft's anders:

Wir wissen 23=8, daher ist 2 nicht in M enthalten. Für jede Zahl y<2 ist y3<8 (auch für die negativen, denn dann ist auch y3 negativ). Daher ist keine Zahl, die kleiner ist als 2, in M enthalten. Wegen eben genannter Gleichheit ist 2 nicht nur irgendeine untere Schranke, sondern sogar die größte. Daher ist inf(M)=2.

Wäre 2 in M enthalten, wäre 2 auch das Minimum - das wäre der Fall, wenn in der Mengen-Beschreibung keine echte Ungleichung vorkäme. So gibt es kein Minimum, denn für jede Zahl x, die in M enthalten ist, ist auch (2+x)/2 in m enthalten (nachrechnen!). 

 

Wir fassen zusammen: M ist nicht nach oben beschränkt, aber nach unten beschränkt. Es ist inf(M)=2 und M besitzt kein Minimum.

 

Ich hoff' das hilft, wenn nicht frag (wie gesagt) gern nochmal nach! :)

 10.05.2022
 #3
avatar+19 
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(i) Die Menge M =  ist nach oben Beschränkt, denn der Graph ist V-förmig mit einer oberen Schranke von 4(|x| ≤ 4). Somit ist sup(M)=4

 

Für negative x-werte ist es eine Gerade mit einem y-achsenabschnitt von 0 und einer Steigung von -1. Die Funktion hat einen minimalen Funktionswert bei x= 0. Daher ist sie von unten beschränkt. Daher ist inf(M)=0.

 

Somit ist die Menge M =  nach Oben und nach unten beschränkt. Es ist inf(M)=0 und sup(M)=4. Die Menge M besitzt also sowohl ein Minimum als auch ein Maximum.

 

Das wäre mein Versuch für (i). Bei der (iii) bin ich mir nicht sicher. Für n kann man ja nur alle ganzen positiven Zahlen einsetzen oder? (also keine negativen und keine 0)

 

LG

 10.05.2022
 #4
avatar+3609 
+1

Bei der (i) bist du auf jeden Fall auf der richtigen Spur. Die Menge ist in der Tat nach oben beschränkt mit sup(M)=4, was gleichzeitig auch das Maximum ist. Das Infimum ist aber nicht 0, denn: in der Menge M sind ja nicht die y-Werte vom Graphen von |x|, sondern die x-Werte, aber nur, solange |x| kleiner oder gleich 4 ist. Daher ist zB. -1 auch in M, was deinem Infimum widerspricht. Mit der Form des Graphen zu argumentieren klappt aber. Der Graph ist, wie du schon gesagt hast, V-förmig, mit Steigungen -1 und 1. Daher sind -4 und 4 genau die Grenzen, zwischen denen der Graph unter dem y-Wert 4 ist. Somit sind -4 und 4 genau Infimum und Supremum und gleichzeitig Minimum und Maximum.

 

Zur (iii):

Da hast du Recht, ja - alle natürlichen Zahlen für n. Die Menge M hat daher auch unendlich viele Elemente. Sie ist trotzdem in beide Richtungen beschränkt. (Das geht, denn es sind ja nicht direkt die natürlichen Zahlen in der Menge, sondern Elemente der Form 1-2/n.) Dir fällt bestimmt sofort auf, was sup(M) und inf(M) ist, wenn du mal für n=1, 2, 3, 4 und 5 die Elemente der Menge bestimmst. 

 

Wie beim letzten mal: Frag' gern weiter nach wenn was nicht klappt ;)

Probolobo  10.05.2022
 #5
avatar+19 
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(iii)

Die Menge M ist in beide Richtungen beschränkt.

Die untere Schranke wäre {\( {1-}{2\over 1}=-1\)}  da 1 die kleinste natürliche Zahl ist. Somit wäre das inf(M)=-1.

Die Obere Schranke liegt bei 1. Je größer das n wird desto größer wird der Wert und fügt sich der 1 an. Daher ist sup(M)=1.

Somit ist die Menge M in beide Richtungen beschränkt. Es ist inf(M)=-1und sup(M)=1. Die Menge besitzt also ein Maximum sowie auch ein Minimum.

 

(iv)

Die Menge M ist auch in beide Richtungen beschränkt.

Die untere Schranke wäre  {\( {1}+{1\over 1}-{1\over 2^1}={3\over 4}\)}, da 1 die kleinste natürliche Zahl ist (für  n&m). Somit wäre das inf(M)= \({3\over 4}\).

Die Obere Schranke liegt bei 1. Je größer das n oder m wird desto kleiner wird der Wert.Und nähert sich der 1.

Daher ist sup(M) = 1.

Somit ist die Menge M in beide Richtungen beschränkt.

Es ist inf(M)= \({3\over 4}\) und sup(M)=1. Die Menge besitzt also ein Maximum sowie auch ein Minimum.

 

Das habe ich jetzt für (iii) & (iv) raus. Ich glaube so langsam checke ich es :D

 

LG

noob420  11.05.2022
 #6
avatar+3609 
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Das zur (iii) stimmt ziemlich, gute Arbeit! 

Das einzige Problem ist das Maximum: Tatsächlich ist sup(M)=1, aber für kein n wird dieser Wert tatsächlich auch angenommen. Die Menge hat also ein Minimum, nämlich -1, weil für n=1 diese Zahl auch herauskommt, den Wert 1 gibt's in dieser Menge aber nicht, daher hat M kein Maximum. Der Rest passt aber ;)

 

bei (iv) müssen wir aber noch ein bisschen arbeiten:

Deine untere Schranke passt noch nicht, denn zum einen ist 1 + 1/1 - 1/2 nicht 3/4, sondern 3/2 (das ist der weniger wichtige Fehler), zum anderen ergeben sich durchaus noch kleinere Zahlen.

Beachte hier: Die Elemente von M hängen von 2 Parametern ab, nämlich n und m.  Dabei legt n fest, wie viel zu 1 addiert wird, m legt hingegen fest, wieviel wieder abgezogen wird.

Um die untere Schranke von M zu finden, müssen wir also dafür sorgen, dass so viel wie möglich abgezogen wird, während gleichzeitig so wenig wie möglich addiert wird. Am wenigsten ziehen wir für m=1 ab. Lassen wir n nun gegen unendlich gehen, so geht der Wert der Elemente von M gegen 1+0-1/2=1/2, das ist also unsere untere Schranke.

Für die obere Schranke müssen wir nun dafür sorgen, dass so viel wie möglich addiert wird, während so wenig wie möglich abgezogen wird. Ich lass dir übrig, zu begründen, warum sup(M)=2 ist und warum M weder Maximum noch Minimum hat - dafür sei nochmal betont: Das Maximum (Minimum) ist genau das Supremum (Infimum) der Menge, wenn es denn auch ein Element der Menge ist. 

Ein einfaches Beispiel: Zur Menge X=[-1; 2[ ist Min(X)=inf(X)=-1 und sup(X)=2, das Maximum existiert aber nicht, weil 2 nicht in der Menge enthalten ist.

 

Außerdem noch eine kleine Bemerkung zum Sprachgebrauch in dem Bereich: Mit "untere Schranke" bzw. "obere Schranke" gehen wir hier gerade etwas schlampig um. Die ist nämlich, wenn sie existiert, nie eindeutig: Zu meiner Beispielmenge X von eben ist -1 eine untere Schranke, -2 oder -100 aber auch. Von besonderer Bedeutung ist aber eben immer die "extreme" Schranke, also die größte untere bzw. die kleinste obere Schranke. Daher haben die auch besondere Namen, nämlich Infimum und Supremum.

Probolobo  11.05.2022

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