Hallo,
ich habe gestern mein Mathe-Abitur geschrieben und eine der Aufgaben war ein Extremwertproblem., welches ein echtes Problem für mich dargestellt habe.
Es ging um eine Funktion f(x), wo ein Rechteck mit dem maximal größten Flächeninhalt berechnet werden sollte. Das Rechteck sollte achsenparallel im 1. Quadranten mir einem Eck im Ursprung und dem anderen auf dem Graphen sein. f(x) hatte eine Nullstelle im Ursprung und eine bei x=2.
Ich kann mich nur noch daran erinnern, das die Zielfunktion A= -0,25x^4-0,75x^3+5x war.
Davon habe ich die Ableitung gebildet: A'= -x^3-x^2+5. Dann muss man ja die Nullstellen bzw. Extrempunkte bestimmen. Und das geht nur mit einer Polynomdivision, wofür man eine Behauptung aufstellen muss.
In meinem Taschenrechner konnte ich mit der Table- und der EQN-Funktion nichts finden.
Nach einer halben Stunde habe ich dann aufgegeben, aber mich würde die Lösung wirklich interessieren, vorallem da meine Mitschüler die diesen Vorschlag auch gewählt haben, ebenso keine Lösung gefunden haben.
Würde mich freuen, wenn jemand eine Lösung weiß
+15000 Hallo Abiturient!
Ich setze voraus, dass die Zielfunktion z(x)= -0,25x^4-0,75x^3+5x bei der Aufgabe angegeben ist.
Ein Eckpunkt des Rechtecks ist \(P_1(0;0).\)
Der diagonal gegenüberliegende Eckpunkt, der auf dem Graph liegt, ist \(P_2(x;z(x))\).
x ist die gesuchte Länge der Grundseite des Rechtecks. z(x) ist die Höhe des Rechtecks.
Die Seiten des Rechtecks sind: die X-Achse, die Vertikale über x, die Horizontale durch z(x) und die Y-Achse.
Wir suchen das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist gleich Grundseite mal Höhe: \(\color{blue}A(x)=x\cdot z(x)\).
In diese Gleichung setzen wir den Term der Zielfunktion z(x) ein.
\(A(x)=x\cdot (-0,25x^4-0,75x^3+5x)\\ \color{blue}A(x)=-0,25x^5-0,75x^4+5x^2\).
Zum Bestimmen der Extrema ist die Funktion A(x) zu differenzieren. Die Ableitung wird gleich Null gesetzt.
\(\frac{dA(x)}{dx}=\color{blue}-1,25x^4-3x^3+10x=0\)
Mit Hife von http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm
konnte ich die Nullstellen ermitteln. Für Polynomdivision sehe ich keine Möglichkeit. Das klappt nur mit rationellen Ergebnissen. Es muss ja aufgehen.
\(\color{blue}x\in \{0;\ 1,4428\}\)
\(Bei\ x=0\ hat\ die\ Funktion\ A(x)\ ein\ Minimum.\)
Die gesuchte Grundseite des Rechtecks ist \(\color{blue}x=1,4428 \)
Die Höhe des Rechtecks ist
\(z(x)_h=-0,25x^4-0,75x^3+5x\\ =-0,25\cdot (1,4428)^4-0,75\cdot (1,4428)^3+5\cdot (1,4428 )\)
\(\color{blue}z(x)_h=3,878\)
Die maximale Fläche des Rechtecks
\(A(1,4428)=-0,25\cdot (1,4428)^5-0,75\cdot (1,4428)^4+5\cdot (1,4428)^2\\ \color{blue}A(1,4428)=5,595\)
Es würde mich freuen, wenn du mir mitteilst, ob meine Beschreibung verständlich ist. Bitte fragen, wenn etwas nicht klar ist. Anscheinend wird das Ableiten einer Potenzfunktion noch nicht voll beherscht.
!
