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Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage

für alle natürlichen Zahlen n:

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}$

Hey Gast!

Induktionsanfang:

n=1.

linke Seite: $\frac{1}{1*(1+2)}=\color{blue}\frac{1}{3}$

rechte Seite: $\frac{1*(3*1+5)}{4*(1+1)*(1+2)}=\frac{8}{24}=\color{blue}\frac{1}{3}$

Für n=1 sind beide Seiten gleich!

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}$

Induktionsbehauptung:

$\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{(n+1)*(3(n+1)+5)}{4*((n+1)+1)*((n+1)+2)}=\frac{(n+1)*(3n+8)}{4*(n+2)*(n+3)}$

Beweis des Induktionsschritts $n\rightarrow n+1$

n + 1 $\rightarrow$  n = 2

linke Seite:

$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k*(k+2)}$

$=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+2)}+ \frac{1}{(n+1)*((n+1)+2)}$

$=[I.A.] \frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}+\frac{1}{(n+1)*(n+3)}$

$=\frac{n*(3n+5)*(n+3)+4*(n+2)}{4*(n+1)*(n+2)*(n+3)}\\ =\frac{2*11*5+4*4}{4*3*4*5}\\ =\frac{126}{240}\\ \color{blue}=\frac{21}{40}$

n = 2

rechte Seite:

$\frac{(n+1)*(3n+8)}{4*(n+2)*(n+3)}\\ =\frac{3*14}{4*4*5}\\ \color{blue}=\frac{21}{40}$

linke Seite = rechte Seite

q.e.d

Dank für die Hilfe an Omi67 und heureka!

Gruß    !

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}}

$\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}}$

Induktionsanfang:

n = 1:    linke Seite: $\dfrac{1}{2^1 } = \dfrac{1}{2}$
          rechte Seite:  $2-\dfrac{1+2}{2^1} = 2-\dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}$
Für n=1 sind beide Seiten gleich!

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
$\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}$

Induktionsbehauptung:

$\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}$

Beweis des Induktionsschritts $n\rightarrow n+1:$

$\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i} \\\\ &&=& \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&\overset{I.A.}{=}& \displaystyle 2-\frac{n+2}{2^n} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{n+2}{2^n} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left[ \frac{n+2}{2^n}\cdot\left(\dfrac{2}{2}\right) - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right] \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^n\cdot 2} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^{n+1}} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+2)\cdot 2-(n+1)}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{2n+4-n-1} {2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{n+3}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&& \displaystyle 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} = 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\ \checkmark \\ \hline \end{array}$

Vielen Dank👍🏼 

So, jetzt hat alles geklappt.

okay danke👌🏼

So, Ellie

Jetzt erhälst Du alle Lösungen.

Alles ist gerechnet. Aber im Moment klappt es mit dem Hochladen nicht.

Hallo Simon,

um das Ableitungsprinzip besser zu verstehen, habe ich die ersten drei Ableitungen aufgeschrieben.

Eigentlich wäre nur die ertse Ableitung nötig gewesen.

Und nun kommt die allgemeine Ableitung:

So würde ich es machen. Eine andere Möglichkeit fällt mir nicht ein.

Hallo Simon!

Per vollständiger Induktion soll folgendes bewiesen werden:

Gegeben sei:

$f(x) = \frac{1}{1-x}\\ {\color{black}Die \ Induktionsannahme\ lautet:}\\ {f}^{n'+1}(x)=\frac{(n+1)!}{{(1-x)}^{n+2}}$

Die ersten drei Ableitungen errechnen sich

mit der Quotientenregel zu:

$f^{n'=1}(x)=\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}$

$f^{n''=2}(x)=\dfrac{2}{\left(x-1\right)^3}$

$f^{n'''=3}(x)=\dfrac{6}{\left(x-1\right)^4}$                                                          

Ich versuche morgen weiterzukommen.

15.3. 10 Uhr: Omi67 hat es weitergeführt. Danke!

LG

  !

Hallo Omi67, danke für deine Antwort

Könntest du mir evtl. diesen Schritt erklären?

$\frac{3}{x}-\frac{2}{3x}\le0 \qquad |\cdot3x \\ 9x-6x\le0$

Ich hätte an dieser Stelle versucht die Subtraktion aufzulösen, wodurch ich auf $\frac{7}{3x}\le0$ komme, aber das bringt mich auch nicht so recht weiter.

Kleine Korrektur von mir, du hast in der Lösungsmenge die eckige Klammer bei dem Unendlichzeichen falsch herum geschrieben, unendlich kann ja nicht erreicht werden.

Also,

$\mathbb{L}=]-\infty,0[$

Den ersten Teil der zweiten Aufgabe kann ich soweit nachvollziehen, nur habe ich noch Probleme auf den zweiten Teil der Lösungsmenge zu kommen, also $\mathbb{L}={\color{red}(-\infty,-1)}\cup[8,\infty)$

Die zweite Aufgabe hatte ich zunächst versucht anders zu rechnen, wo liegt da der Fehler?

$\frac{2}{x+1}\le\frac{2}{9} \qquad |-\frac{2}{9} \\[.5cm] \frac{2}{x+1}-\frac{2}{9}\le0 \qquad | \text{Subtraktion auflösen} \\[.5cm] \frac{2\cdot9-(x+1)\cdot2}{(x+1)\cdot9}\le0 \\[.5cm] \frac{20-2x}{9x+9}\le0 \\[.5cm] 20-2x\le9x+9 \\[.5cm] 12\le11x \\[.5cm] \frac{12}{11}\le x$

Gruß Terax

Allerbesten Dank! :)

Cool, danke! Soweit auch sehr verständlich, bis auf den Startwert. Wie komme ich auf den? Die Graphen zeichnen und schauen, was in der Nähe ist? Könnt ich dann in dem Fall auch 2 nehmen? Und find ich das auch ohne Grafik raus oder "muss man das einfach sehen" können beim Blick auf die Funktion? 

Du hast es richtig gesehen, der Startwert ist  eine Startnäherung, die man sich irgendwie überlegen muß.

Eigentlich kann man jeden Startwert versuchen. Wenn der x Wert nicht konvergiert, die Folge${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc }$

nicht einer Lösung zustrebt, dann hat man einen falschen Startwert genommen.

Den Wert 2 für $x_0$ kannst du ebenfall nehmen. Wie aus dem nachfolgenem Bild zu sehen ist läuft bei $x_0 = 2$ die Iterationsspirale zum Fixpunkt hin, ansonsten konvergiert das Verfahren für diesen Startwert nicht und die Spirale läuft nach außen weg.

Hallo Terax,

beim Lösen von Ungleichungen geht man vor wie bei Gleichungen mit einem Unterschied: Wird beim Lösen mit einer negativen Zahl multipliziert, dann kehrt sich das Relationszeichen um.

Cool, danke! Soweit auch sehr verständlich, bis auf den Startwert. Wie komme ich auf den? Die Graphen zeichnen und schauen, was in der Nähe ist? Könnt ich dann in dem Fall auch 2 nehmen? Und find ich das auch ohne Grafik raus oder "muss man das einfach sehen" können beim Blick auf die Funktion? 

kann mir jemand sagen, wie man  nach x auflöst?

Am besten mit step-by-step-Erklärung für mathematische Tiefflieger.

Es geht um den Fixpunkt.

Die Gleichung x = 2+ sin(x) läßt sich nicht nach x auflösen. Solche Gleichungen lassen sich nur

iterativ lösen (Newton, Regula falsi, Fixpunktiteration,...)

Fixpunktiteration:

Man startet mit $x_0$ und iteriert mit

$x_n = 2+sin(x_{n-1})$
so lange, bis sich x nicht mehr ändert, dann hat man den Fixpunkt erreicht.

$\begin{array}{|rcll|} \hline x_0 &=& \pi/2 \\ x_1 &=& 2+\sin{(x_0)} = 2+ \sin{(\pi/2)} \\ &=& 2+1 \\ &=& 3 \\\\ x_2 &=& 2+\sin{(x_1)} = 2+ \sin{(3)} \\ &=& 2+0.14112000806 \\ &=& 2.14112000806 \\\\ x_3 &=& 2+\sin{(x_2)} = 2+ \sin{(2.14112000806)} \\ &=& 2+0.84172626228 \\ &=& 2.84172626228 \\ \ldots \\ x &=& 2.55419595284 \\ \hline \end{array}$

Danke schön :D

Man weiß ja, dass 2¹⁰ = 1024 ist.

Eine Rieseneiswaffel soll mit Eiskugeln mit dem Durchmesser d = 4,6cm gefüllt werden.

Aufgabe 1: Eisvolumen berechnen. Die Eiswaffel hat die Höhe h = 140 cm.

Wie muss man vorgehen? Es fehlt ja der Radius bzw. Durchmesser

Aufgabe 2: Erläutere die gegebene Höhe von 140 cm.

Hallo Gast!

Zuerst fragen wir: Wie viele Schichten n  dichtgepackte Kugeln gehen in den Hohlkegel?

Ein Kegel aus dichtgepackten Kugeln hat einen Spitzenwinkel von 60°.

Mache dir eine Skizze von einem gleichseitigen Dreieck, Spitze nach unten, mit 6 Kreisen, die das Dreieck ausfüllen.

Kennzeichne die Strecke vom Berührungspunkt der unteren Kugel bis zur Spitze mit a,

die Abstände der Berührungspunkte mit der Seitenlinie mit d.

Dieses stellt den Längsschnitt der 3 unteren Schichten dar ( die 2. Schicht ist verdreht dargestellt).

Radius der Eiskugeln:

                                    $r=\frac{d}{2}=\frac{4,6cm}{2}$               $r=2,3cm$ <

Seitenlinie des 140cm hohen Kegels:

                                   $s_{140cm}=\frac{h}{cos 30°}=\frac{140cm}{cos30°}$       

                                                                     $s_{140cm}=161,66cm$ <

Berührungspunkt erste Kugel bis Spitze:

                                   $a=\frac{r}{tan30°}=\frac{2,3cm}{tan 30°}$          $a=3,98cm$  <                     

Anzahl der Schichten:

                  $s_{140cm}=a+d(n-1)\\ s_{140cm}=a+d\cdot n-d\\ d\cdot n=s_{140cm}+d-a\\ n=\frac{s_{140cm}+d-a}{d}=\frac{(161,66+4,60- 3,98)cm}{4,60cm}$     

                                                                                         $n=35,27$ <

In die Eiswaffel passen                            n = 35 Schichten Eiskugeln. <

Dichte der Füllung des Hohlkegels $\theta$:

In den unteren 3 Schichten befinden sich: 

                       $z_3=(1+3+7)Kugeln$            $z_3=11\ Kugeln$ <

Höhe des 3-Schicht-Hohlkegels:

                        $s_3=(2a+2d)cm=(2\cdot 3,98+2\cdot 4,3)cm\\s_3=16,56cm\\ h_3=s_3\cdot cos30°\\ h_3=16,56cm\cdot cos30°$

                                                                                     $h_3=14,34cm$ <

Durchmesser des 3-Schicht-Hohlkegels:

                        $d_3=2d+2a=(2\cdot 4,3+2\cdot 3,98)cm$ 

                                                                                     $d_3=16,56cm$ <

Volumen des 3-Schicht-Hohlkegels:

                       $V_3=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi \ d_3^2}{4}\cdot h_3=\frac{\pi\cdot d_3^2\cdot h_3}{12} =\frac{\pi\cdot 16,56^2\cdot 14,34}{12}cm^3$

                                                                              $V_3=1029,529cm^3$ <

Raumbedarf einer Kugel:

                       $V_{Kugel}=\frac{V_3}{z_3}=\frac{1029,529cm^3}{11\ Kugeln}$   

                                                               $V_{Kug}=93,594\ cm^3/Kugel$ <

Umhüllungskegel:

Der Kegel, der alle 35 Schichten umhüllt (er ist >140cm).

Seitenlinie des Umhüllungskegels:

                      $s_{35}=2a+d(n-1)=2\cdot 3,98cm+34\cdot 4,6cm$

                                                                                  $s_{35}=164,36cm$ <

Höhe des Umhüllungskegels:

     $h_{35}=s_{35}\cdot cos30°=164,36\cdot cos30°$

                                                                                     $h_{35}=142,34cm$ <

Der Durchmesser eines 60°-Kegels und seine Seitenlinie sind gleich groß.

                           $d_{35}=s_{35}$                                          $d_{35}=164,36cm$

Kleine Pause. Ich muss nachrechnen.

Gruß

  !

Identifizieren Sie die Grundfunktionen von $f(t)=\frac{3}{t^2+4}$

Hallo Gast!

Beim Differenzieren einer gebrochen rationalen Funktion verwenden wir die Quotientenregel.

$\large f'(t)= \frac{u'v-uv'}{v^2}$

Die Grundfunktionen sind im gegebenen Fall

$u(t)=3\\ v(t)=t^2+4$        $u'(t)=0\\ v'(t)=2t$

Dann gilt

$f'(t){\color{black}=\frac{0\cdot(t^2+4)-3\cdot 2\cdot t}{(t^2+4)^2}}=-\frac{6t}{t^4+8t^2+16}$

Gruß

  !

wow danke für die erklärung 

schöne woche euch 

Hallo, ich muss den Raumwinkel einer Halbkugel bestimmen.

Hallo Terax!

Der Raumwinkel $\Omega$ ist die Teiloberfläche A einer Kugel, geteilt durch den Kugelradius hoch zwei.

$\Omega=\large \frac{A}{r^2}$

Die Oberfläche einer Halbkugel ist

$A=2\pi r^2$

Also ist

$\Omega =\large \frac{2\pi r^2}{r^2}$

$\Omega = \large 2\pi$

Der Raumwinkel einer Halbkugel ist $\Omega = \large 2\pi$ .

Was genau wolltest du mittels Integralrechnung bestimmen?

Bitte melde dich noch mal!

Gruß

  !

So sehen die Flächen aus:

Hallo, guten Morgen!

Nun zu

Nr.2

Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)=x^3-1$ und den beiden Koordinatenachsen, die im 4.Quadranten liegen.

Der 4. Quadrant wird begrenzt von der negativen y-Achse und der positiven x-Achse.

$f(x)=x^3-1$ ist eine Parabel 3.Grades.

-1 zeigt an, dass der Graph bei -1 durch die y-Achse geht.

Bei 1 geht der Graph durch die x-Achse

weil:

$f(x)=x^3-1=0\\ x^3=1\\ x= \sqrt[3]{1}\\ \color{blue}x=1$

Die gesuchte Fläche A ist

$A=\int_{0}^{1} \! (x^3-1) \, dx \\ A=| \frac{x^4}{4} -x|_0^1\\ A= (\frac{1}{4}-1)-(0)$

$\LARGE A=-\frac{3}{4}$    $Quadrateinheiten$

Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.

Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.

Die Fläche zwischen den Koordinatenachsen und dem Graphen der Funktion $f(x)=x^3-1$ 

im 4. Quadranten ist $\frac{3}{4}$  Quadrateinheiten groß.

Gruß

  !

Guten Morgen Matheanfänger!

Für heute Aufgabe Nr.1

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/2x^2 - 2,5x + 2

Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse über dem Intervall (0;3)

Zuerst prüfen wir, ob die Funktion im Intervall (0;3) Nullstellen,

also Schnittstellen mit der x-Achse, hat.

$0,5x^2 - 2,5x + 2=0$

$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ x = {2,5 \pm \sqrt{6,25-4\cdot 0,5\cdot 2} \over 2\cdot 0,5}\\ x=\frac{2,5\pm \sqrt{2,25}}{1}\\ x_1=4\\ x_2=1$

Im Intervall (0;3) finden wir die Nullstelle x₂ = 1.

Deshalb berechnen wir die Flächen in den Bereichen (1;0) und (1;3) und addieren sie.

Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.

Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.

Jetzt ermitteln wir die Stammfunktion.

$\color{BrickRed}f(x)=0,5x^2 - 2,5x + 2=0\\\color{blue} \left[A\right]_0^1 \\ =\int_{0}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{0}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(0)\\ =0,916\overline{6}\\\color{blue} =\frac{11}{12}\ Quadrateinheiten$

$\left[A\right]_3^1$

$=\int_{3}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{3}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(4,5-11,25+6)\\ =(0,916\overline6)-(-0,75)\color{blue}=1,6\overline6\\ \color{blue}=1\frac{2}{3}\ Quadrateinheiten$

$\left[A\right]_0^1+\left[A\right]_3^1\\ \color{black} =\frac{11}{12}+\frac{5}{3}=\frac{31}{12}\\ =2\frac{7}{12}\ Quadrateinheiten$

Die Summe der beiden Flächen zwischen dem Graphen der Funktion f(x)

und der x-Achse beträgt   $\large 2\frac{7}{11}\ Quadrateinheiten$.

Das war es für heute. Der Rest kommt morgen.

Gruß von

  !

hallo,

kann mir bitte jemand erklären wie man sowas ausrechnet?:

a)   x+2/7=5     oder

b)(x+2)/7=5

Du musst Klammern setzen!!

Korrektur: Es muss 4 5/7 heißen.

Danke sehr