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Kann mir wer bei dem Beispiel helfen ich komm einfach auf keine Lösung?

Und zeigen wie der Induktionsschritt geht.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}$

Induktionsanfang:
n = 1:    linke Seite: $\dfrac{1}{(2\cdot 1-1)(2\cdot 1 +1) } = \dfrac{1}{1\cdot3}= \dfrac{1}{3}$

             rechte Seite: $\dfrac{1}{2\cdot 1+1} = \dfrac{1}{3}$
Für n=1 sind beide Seiten gleich!

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\dfrac{n}{2n+1}$

Induktionsbehauptung:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\dfrac{n+1}{2(n+1)+1}$

Beweis des Induktionsschritts $n\rightarrow n+1$:

$\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)} \\\\ &&=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)} +\dfrac{1}{[2(n+1)-1][2(n+1)+1]} \\\\ &&\overset{I.A.}{=}& \dfrac{n}{2n+1}+\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \left(\dfrac{n}{2n+1} \right) \left(\dfrac{2n+3}{2n+3} \right) +\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{2n^2 +3n+1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{n+1}{2n+3} \\\\ &&=& \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&& \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} \\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} = \dfrac{n+1}{2(n+1)+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array}$

$ln|x|<1\\ Bestimme\ x.$

Hallo Terax!

$\color{BrickRed}ln|x|<1\\ \{x\}=\{e^{\{\mathbb{R}\ <1\}}\}\\ \mathbb{L}=\{x|e^{\{\mathbb R| (-\infty\ bis\ 1)\}}\}$

$\mathbb L=\{x\ |\ \mathbb R\ (0\ bis\ e)\}$

$\mathbb L$ ist die Menge aller x für die gilt: $\large e^{\{Menge\ der\ reellen\ Zahlen\ <1\}}$

Ich hoffe, dass das richtig ist!

Gruß

  !

Danke sehr

In der Auflösung der Gleichung hat sich (mindestens) ein Fehler eingeschlichen,

den ich aber gerade nicht so recht finden will.

$\frac{3x+7}{4}-2=\frac{4x-8}{5}+1$

Hallo Terax!

$\frac{3x+7}{4}-2=\frac{4x-8}{5}+1$   || $+2-\frac{4x-8}{5}$

$\frac{3x+7}{4}-\frac{4x-8}{5}=3$          || k.g.N ist $4\cdot 5$ ; die Zähler mit 5 und 4 erweitern.

$\frac{5(3x+7)-4(4x-8)}{4\cdot5}=3$       || ausmultiplizieren

$\frac{15x+35-16x+32}{20}=3$        ||  mal 20

$-x+67=3\cdot 20$          || mal -1

$x-67=-60$               || + 67

$\large x=7$ 

$\frac{3x+7}{4}-2=\frac{4x-8}{5}+1\\ \frac{3\cdot 7+7}{4}-2=\frac{4\cdot 7-8}{5}+1\\ \frac{28}{4}-2=\frac{20}{5}+1\\ 7-2=4+1\\ 5=5$

Dein Fehler ist in der 5. Zeile passiert:

$\displaystyle \frac{(3x+7)*5-(4x-8)*4}{4*5}=3$       $-(4x-8)*4= -16x+32$

$\displaystyle \frac{15x+35-16x{\color{red }-32}}{20}=3$                      $\displaystyle \frac{15x+35-16x\ {\color{blue }+32}}{20}=3$

Gruß

  !

Mit welchen Rechenschritten kommt man von e zu pi.

Welchen Zusammenhang haben diese beiden Zahlen?

Hallo Gast!

π - Faszination in Ziffern

$\large e^{i\cdot \pi}$und die Eulersche Identität

Die Mathematiker sind sich ziemlich einig, wenn es um die Frage nach der schönsten und elegantesten Gleichung bzw. Formel der Mathematik geht. Ihre Antwort lautet fast immer:

$\LARGE e^{i \cdot \pi}=-1$

Mehr hierzu unter

Danke :)

Hallo Gast,

danke für dein Dankeschön und für die Richtigstellung !

Also

$f(x)=\frac{x-4}{x^2 }$

1. Nullstellen

$f(x_0)=\frac{x_0-4}{x_0^2}=0\\ x_0-4=0$

$\large x_0=4$

2. Polstellen

$Divident=x_{pol}^2=0\\ x_{pol}=\sqrt{0}=0$

$\large x_{pol}=0$

$f(x_{pol})=y_{pol}=\frac{x_{pol}-4}{x_{pol}^2}=\frac{0-4}{0^2}=\frac{-4}{0}=-\infty$

$\large y_{pol}=-\infty$

3. Extrema

$f(x)=(x-4)\cdot x^{-2}\\ f(x)=x^{-1}-4x^{-2}$

$f'(x)=[-1\cdot x^{-2}]-[-8\cdot x^{-3}]$

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{8}{x^3}\\ \color{blue} f'(x)=\frac{-x^3+8x^2}{x^5}=0\\ $

$\large x_{max}=8$

Die Funktion hat ein Maximum bei x_max = 8.

$\large y_{max}=0,0625$

Grüße

  !

Danke für diese Antwort! :)

entschuldige, das habe ich garnicht angemerkt.
Die Funktion sollte heißen (x-4)/x² sprich die rote Funktion ist die richtige!

Was soll gelten? Rot oder blau?

Hat die Funktion x-4/x² irgendwelche Polstellen?

Hallo Gast!

$f(x)=x-\frac{4}{x^2}$

1. Die Funktion hat eine Extremstelle.

$f(x)=x-\frac{4}{x^2}=x-4\cdot x^{-2}\\ f'(x)=1-4\cdot (-2x^{-3})\\ \color{BrickRed}An\ Extremstellen\ ist\ die\ erste\ Ableitung\ Null.\\ \color{blue}f'(x)=1+8x^{-3}=0\\ 1=-\frac{8}{x^3}\\ x^3=-8\\ \color{blue}x_{ex}=-2$

$y_{ex}{\color{black}=f(-2)=-2-\frac{4}{(-2)^2}=-2-1}=-3$

Ist f''(x) an der Stelle $x_{ex}$ 

positiv, so ist das Extremum ein Minimum,

ist es negativ, so handelt es sich um ein Maximum.

${\color{blue}f''(x)=}8\cdot (-3x^{-4})\color{blue}=-\frac{24}{x^4}\\ {\color{blue}f''(x_{ex})=}-\frac{24}{(-2)^4}=\frac{24}{16}\color{blue }=-1,5$

$f''(x_{ex})\ ist\ negativ. \\ Das\ bedeutet:\ Der\ Extrempunkt\ ist\ ein\ Maximum.$

$\large P_{max}(-2\ |-3)$

2. Die Funktion hat eine Nullstelle.

$f(x)=x-\frac{4}{x^2}=x-4\cdot x^{-2}$

$x-\frac{4}{x^2}=0\\ \frac{x^3-4}{x^2}=0\\ x^3-4=0\\ x^3=4\\ x=\sqrt[3]{4}$

$\large x_0=1,5874..$

3. Die Funktion hat eine Polstelle bei $x_p=0$

$\color{blue}f(x)=x-\frac{4}{x^2}$

$f(x)=\frac{x^3-4}{x^2}$ 

Eine gebrochenrationale Funktion hat eine Polstelle,

wenn der {Divident des Bruches} $\in \mathbb{R}$  und der Divisor Null ist.

$f(x_p)=\frac{x_p^3-4}{x_p^2}\\ x_p^2=0\\ x_p= \sqrt{0}$

$\large x_p=0$                                 

$f(x_p)=\frac{x_p^3-4}{x_p^2}= \frac{0^3-4}{0^2}=-\frac{4}{0}=-\infty$

$\large f(x_p)=-\infty$

Gruß

  !

ob du.... ?

Danke heureka !

  !

Vollständige Induktion

$\large{(a+b)^n\ge a^n+b^n}$

Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?

Induktionsanfang:
$n = 1:$  linke Seite: $(a+b)^1 = a+b$
               rechte Seite: $a^1+b^1 = a+b$
Für $n=1$ sind beide Seiten gleich und die Aussage ist wahr!

Die Induktionsannahme $(I.A.)$ lautet:

 $(a + b)^n \ge a^n + b^n$

Induktionsschluss:

$\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & (a+b)^{n+1} \\ &&=& (a+b)^n(a+b)^1 \\ &&=& (a+b)(a+b)^n \\ &&\overset{I.A.}{\ge}& (a+b)(a^n+b^n) \\ &&=& a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&&a^{n+1}+b^{n+1}\\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & (a+b)^{n+1} \ge a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \ge a^{n+1}+b^{n+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array}$

$(a+b)^n>=a^n+b^n$

Ich habe Probleme, den Induktionschritt n+1 anzuwenden.

Hallo Gast!

       $\ \ \ \ (a+b)^n >=\ a^n+b^n\\ \ \ n \in \mathbb {N}\ \ \ \ \ \ \ \ \{a;b \} \subset \{\mathbb {R>0} \}$

      Pascalsches Dreieck

                    1  1

                 1   2  1

              1   3   3  1

           1   4   6    4  1

        1   5  10  10  5  1  

   $(a+b)^1=\\ (a+b)^2=\\ (a+b)^3=\\ (a+b)^4=\\ (a+b)^5=$ $a^1+b^1>=a+b\\ a^2+2ab+b^2>=a^2+b^2\\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3>=a^3+b^3\\ a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4>=a^4+b^4\\ a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$

                                                                                 $>=a^5+b^5$

Die Darstellung mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks zeigt:  die Behauptung

$(a+b)^n>=a^n+b^n$ für die Exponenten  $n \in \{1;2;3;4;5 \}$ trifft zu.

Der Beweis für die Behauptung

$(a+b)^n>=a^n+b^n$

mit den Exponenten $n \in \mathbb{N}$ ist damit nicht gegeben.

Es fehlt der Beweis mit dem Induktionsschritt n+1.

Grüße

  !

Bis jetzt habe ich keine Antwort erhalten. Die Aufgaben scheinen Dir nicht so wichtig zu sein. Hauptsache jemand erledigt. Deine Hausaufgaben.. Rechne Deinen Scheiß in Zukunft alleine.

Diese Arbeit wird ehrenamtlich erledigt - also ohne Bezahlung.