Hallo ihr klugen Köpfe,
kann mir jemand sagen, wie man \(sin(x)+2=x \) nach x auflöst? Am besten mit step-by-step-Erklärung für mathematische Tiefflieger.. Es geht um den Fixpunkt. Ich steh voll auf'm Schlauch, obwohl es eigentlich leicht aussieht :(
Vielen Dank schon mal im Voraus!! :)
+26393 kann mir jemand sagen, wie man nach x auflöst?
Am besten mit step-by-step-Erklärung für mathematische Tiefflieger.
Es geht um den Fixpunkt.
Die Gleichung x = 2+ sin(x) läßt sich nicht nach x auflösen. Solche Gleichungen lassen sich nur
iterativ lösen (Newton, Regula falsi, Fixpunktiteration,...)
Fixpunktiteration:
Man startet mit \(x_0\) und iteriert mit
\(x_n = 2+sin(x_{n-1})\)
so lange, bis sich x nicht mehr ändert, dann hat man den Fixpunkt erreicht.
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x_0 &=& \pi/2 \\ x_1 &=& 2+\sin{(x_0)} = 2+ \sin{(\pi/2)} \\ &=& 2+1 \\ &=& 3 \\\\ x_2 &=& 2+\sin{(x_1)} = 2+ \sin{(3)} \\ &=& 2+0.14112000806 \\ &=& 2.14112000806 \\\\ x_3 &=& 2+\sin{(x_2)} = 2+ \sin{(2.14112000806)} \\ &=& 2+0.84172626228 \\ &=& 2.84172626228 \\ \ldots \\ x &=& 2.55419595284 \\ \hline \end{array} \)
Cool, danke! Soweit auch sehr verständlich, bis auf den Startwert. Wie komme ich auf den? Die Graphen zeichnen und schauen, was in der Nähe ist? Könnt ich dann in dem Fall auch 2 nehmen? Und find ich das auch ohne Grafik raus oder "muss man das einfach sehen" können beim Blick auf die Funktion?
+26393 Cool, danke! Soweit auch sehr verständlich, bis auf den Startwert. Wie komme ich auf den? Die Graphen zeichnen und schauen, was in der Nähe ist? Könnt ich dann in dem Fall auch 2 nehmen? Und find ich das auch ohne Grafik raus oder "muss man das einfach sehen" können beim Blick auf die Funktion?
Du hast es richtig gesehen, der Startwert ist eine Startnäherung, die man sich irgendwie überlegen muß.
Eigentlich kann man jeden Startwert versuchen. Wenn der x Wert nicht konvergiert, die Folge\( {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc }\)
nicht einer Lösung zustrebt, dann hat man einen falschen Startwert genommen.
Den Wert 2 für \(x_0\) kannst du ebenfall nehmen. Wie aus dem nachfolgenem Bild zu sehen ist läuft bei \( x_0 = 2\) die Iterationsspirale zum Fixpunkt hin, ansonsten konvergiert das Verfahren für diesen Startwert nicht und die Spirale läuft nach außen weg.
