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avatar+20 

hallo ich bräuchte hilfe bei 2 aufgaben bitte 

 

die erste wäre:

Gegeben ist die funktion f(x)= 1/2x^2 -2,5x+2

 

Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem graphen von fund der x-achse über dem Intervall (0;3)

 

Nr.2

 

Gesucht ist der Flächenihnhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x)=x^3 -1 und den beiden Koordinatenachsen die im 4.Quadraten liegen 

 

Wer extrem nett wenn mir jemand weiter helfenkönnte selbst bei nur einer aufgabe danke 

LG

 04.03.2018
 #1
avatar+8473 
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Guten Morgen Matheanfänger!

 

Für heute Aufgabe Nr.1

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/2x^2 - 2,5x + 2

Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse über dem Intervall (0;3)

 

Zuerst prüfen wir, ob die Funktion im Intervall (0;3) Nullstellen,

also Schnittstellen mit der x-Achse, hat.

\(0,5x^2 - 2,5x + 2=0\)

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ x = {2,5 \pm \sqrt{6,25-4\cdot 0,5\cdot 2} \over 2\cdot 0,5}\\ x=\frac{2,5\pm \sqrt{2,25}}{1}\\ x_1=4\\ x_2=1\)

 

Im Intervall (0;3) finden wir die Nullstelle x2 = 1.

Deshalb berechnen wir die Flächen in den Bereichen (1;0) und (1;3) und addieren sie.

 

Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.

Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.

 

Jetzt ermitteln wir die Stammfunktion.

 

\(\color{BrickRed}f(x)=0,5x^2 - 2,5x + 2=0\\\color{blue} \left[A\right]_0^1 \\ =\int_{0}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{0}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(0)\\ =0,916\overline{6}\\\color{blue} =\frac{11}{12}\ Quadrateinheiten\)

 

\(\left[A\right]_3^1 \)

\(=\int_{3}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{3}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(4,5-11,25+6)\\ =(0,916\overline6)-(-0,75)\color{blue}=1,6\overline6\\ \color{blue}=1\frac{2}{3}\ Quadrateinheiten\)

 

\(\left[A\right]_0^1+\left[A\right]_3^1\\ \color{black} =\frac{11}{12}+\frac{5}{3}=\frac{31}{12}\\ =2\frac{7}{12}\ Quadrateinheiten\)

 

Die Summe der beiden Flächen zwischen dem Graphen der Funktion f(x)

und der x-Achse beträgt   \(\large 2\frac{7}{11}\ Quadrateinheiten\).

 

Das war es für heute. Der Rest kommt morgen.

 

Gruß von

laugh  !

 05.03.2018
bearbeitet von asinus  05.03.2018
 #2
avatar+8473 
+1

Hallo, guten Morgen!

 

Nun zu

Nr.2

Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)=x^3-1\) und den beiden Koordinatenachsen, die im 4.Quadranten liegen.

Der 4. Quadrant wird begrenzt von der negativen y-Achse und der positiven x-Achse.

 

\(f(x)=x^3-1\) ist eine Parabel 3.Grades.

 

-1 zeigt an, dass der Graph bei -1 durch die y-Achse geht.

 

Bei 1 geht der Graph durch die x-Achse

weil:

\(f(x)=x^3-1=0\\ x^3=1\\ x= \sqrt[3]{1}\\ \color{blue}x=1\)

 

Die gesuchte Fläche A ist

 

\(A=\int_{0}^{1} \! (x^3-1) \, dx \\ A=| \frac{x^4}{4} -x|_0^1\\ A= (\frac{1}{4}-1)-(0)\)

 

\(\LARGE A=-\frac{3}{4}\)    \(Quadrateinheiten\)

Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.

Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.

 

Die Fläche zwischen den Koordinatenachsen und dem Graphen der Funktion \(f(x)=x^3-1\) 

im 4. Quadranten ist \(\frac{3}{4}\)  Quadrateinheiten groß.

 

Gruß

laugh  !

 05.03.2018
bearbeitet von asinus  05.03.2018
bearbeitet von asinus  05.03.2018
 #3
avatar+10441 
+2

So sehen die Flächen aus:

laugh

 05.03.2018
 #4
avatar+20 
+1

wow danke für die erklärung 

schöne woche euch 

 05.03.2018

8 Benutzer online

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