Integral, Stammfunktion

Guten Morgen Matheanfänger!

Für heute Aufgabe Nr.1

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/2x^2 - 2,5x + 2

Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse über dem Intervall (0;3)

Zuerst prüfen wir, ob die Funktion im Intervall (0;3) Nullstellen,

also Schnittstellen mit der x-Achse, hat.

$0,5x^2 - 2,5x + 2=0$

$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ x = {2,5 \pm \sqrt{6,25-4\cdot 0,5\cdot 2} \over 2\cdot 0,5}\\ x=\frac{2,5\pm \sqrt{2,25}}{1}\\ x_1=4\\ x_2=1$

Im Intervall (0;3) finden wir die Nullstelle x₂ = 1.

Deshalb berechnen wir die Flächen in den Bereichen (1;0) und (1;3) und addieren sie.

Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.

Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.

Jetzt ermitteln wir die Stammfunktion.

$\color{BrickRed}f(x)=0,5x^2 - 2,5x + 2=0\\\color{blue} \left[A\right]_0^1 \\ =\int_{0}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{0}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(0)\\ =0,916\overline{6}\\\color{blue} =\frac{11}{12}\ Quadrateinheiten$

$\left[A\right]_3^1$

$=\int_{3}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{3}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(4,5-11,25+6)\\ =(0,916\overline6)-(-0,75)\color{blue}=1,6\overline6\\ \color{blue}=1\frac{2}{3}\ Quadrateinheiten$

$\left[A\right]_0^1+\left[A\right]_3^1\\ \color{black} =\frac{11}{12}+\frac{5}{3}=\frac{31}{12}\\ =2\frac{7}{12}\ Quadrateinheiten$

Die Summe der beiden Flächen zwischen dem Graphen der Funktion f(x)

und der x-Achse beträgt   $\large 2\frac{7}{11}\ Quadrateinheiten$.

Das war es für heute. Der Rest kommt morgen.

Gruß von

  !

Hallo, guten Morgen!

Nun zu

Nr.2

Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)=x^3-1$ und den beiden Koordinatenachsen, die im 4.Quadranten liegen.

Der 4. Quadrant wird begrenzt von der negativen y-Achse und der positiven x-Achse.

$f(x)=x^3-1$ ist eine Parabel 3.Grades.

-1 zeigt an, dass der Graph bei -1 durch die y-Achse geht.

Bei 1 geht der Graph durch die x-Achse

weil:

$f(x)=x^3-1=0\\ x^3=1\\ x= \sqrt[3]{1}\\ \color{blue}x=1$

Die gesuchte Fläche A ist

$A=\int_{0}^{1} \! (x^3-1) \, dx \\ A=| \frac{x^4}{4} -x|_0^1\\ A= (\frac{1}{4}-1)-(0)$

$\LARGE A=-\frac{3}{4}$    $Quadrateinheiten$

Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.

Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.

Die Fläche zwischen den Koordinatenachsen und dem Graphen der Funktion $f(x)=x^3-1$ 

im 4. Quadranten ist $\frac{3}{4}$  Quadrateinheiten groß.

Gruß

  !

So sehen die Flächen aus:

wow danke für die erklärung 

schöne woche euch