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Hey,

 

ich bin nun bei der letzten Induktion Aufgabe angekommen, jedoch bräuchte ich wieder einmal hilfe von euch.

 

Vielen Danke!

 

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

 

\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}\)

Guest 25.03.2018
 #1
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Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage

für alle natürlichen Zahlen n:

\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}\)

 

Hey Gast!

 

Induktionsanfang:

n=1.

linke Seite: \(\frac{1}{1*(1+2)}=\color{blue}\frac{1}{3}\)

rechte Seite: \(\frac{1*(3*1+5)}{4*(1+1)*(1+2)}=\frac{8}{24}=\color{blue}\frac{1}{3}\)

Für n=1 sind beide Seiten gleich!

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}\)

 

Induktionsbehauptung:

\(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{(n+1)*(3(n+1)+5)}{4*((n+1)+1)*((n+1)+2)}=\frac{(n+1)*(3n+8)}{4*(n+2)*(n+3)}\)

 

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1\)

 

n + 1 \(\rightarrow\)  n = 2

linke Seite:

 

\(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k*(k+2)}\)

 

\(=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+2)}+ \frac{1}{(n+1)*((n+1)+2)}\)

 

\(=[I.A.] \frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}+\frac{1}{(n+1)*(n+3)}\)

 

\(=\frac{n*(3n+5)*(n+3)+4*(n+2)}{4*(n+1)*(n+2)*(n+3)}\\ =\frac{2*11*5+4*4}{4*3*4*5}\\ =\frac{126}{240}\\ \color{blue}=\frac{21}{40}\)

 

n = 2

rechte Seite:

 

\(\frac{(n+1)*(3n+8)}{4*(n+2)*(n+3)}\\ =\frac{3*14}{4*4*5}\\ \color{blue}=\frac{21}{40}\)

 

linke Seite = rechte Seite

 

q.e.d

 

Dank für die Hilfe an Omi67 und heureka!

 

Gruß  laugh  !

asinus  25.03.2018
bearbeitet von asinus  25.03.2018
bearbeitet von asinus  25.03.2018
bearbeitet von asinus  25.03.2018
bearbeitet von asinus  26.03.2018

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