Vollständige Induktion

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage

für alle natürlichen Zahlen n:

\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}\)

Hey Gast!

Induktionsanfang:

n=1.

linke Seite: \(\frac{1}{1*(1+2)}=\color{blue}\frac{1}{3}\)

rechte Seite: \(\frac{1*(3*1+5)}{4*(1+1)*(1+2)}=\frac{8}{24}=\color{blue}\frac{1}{3}\)

Für n=1 sind beide Seiten gleich!

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}\)

Induktionsbehauptung:

\(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{(n+1)*(3(n+1)+5)}{4*((n+1)+1)*((n+1)+2)}=\frac{(n+1)*(3n+8)}{4*(n+2)*(n+3)}\)

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1\)

n + 1 \(\rightarrow\)  n = 2

linke Seite:

\(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k*(k+2)}\)

\(=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+2)}+ \frac{1}{(n+1)*((n+1)+2)}\)

\(=[I.A.] \frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}+\frac{1}{(n+1)*(n+3)}\)

\(=\frac{n*(3n+5)*(n+3)+4*(n+2)}{4*(n+1)*(n+2)*(n+3)}\\ =\frac{2*11*5+4*4}{4*3*4*5}\\ =\frac{126}{240}\\ \color{blue}=\frac{21}{40}\)

n = 2

rechte Seite:

\(\frac{(n+1)*(3n+8)}{4*(n+2)*(n+3)}\\ =\frac{3*14}{4*4*5}\\ \color{blue}=\frac{21}{40}\)

linke Seite = rechte Seite

q.e.d

Dank für die Hilfe an Omi67 und heureka!

Gruß    !