Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}}

\(\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}} \)

Induktionsanfang:

n = 1:    linke Seite: \(\dfrac{1}{2^1 } = \dfrac{1}{2}\)
          rechte Seite:  \(2-\dfrac{1+2}{2^1} = 2-\dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich!

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\( \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}\)

Induktionsbehauptung:

\(\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\)

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1:\)

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i} \\\\ &&=& \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&\overset{I.A.}{=}& \displaystyle 2-\frac{n+2}{2^n} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{n+2}{2^n} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left[ \frac{n+2}{2^n}\cdot\left(\dfrac{2}{2}\right) - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right] \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^n\cdot 2} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^{n+1}} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+2)\cdot 2-(n+1)}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{2n+4-n-1} {2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{n+3}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&& \displaystyle 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} = 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)