+0  
 
+1
135
1
avatar

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

 

Ich komme bis zum Induktionsschritt, jedoch nicht weiter. Es wäre sehr nett wenn mir das bitte jemand Rechnen könnte, mit den Zwischenschritten und evtl. erklärung. Danke Sehr

 

MfG

 

DerUnbekannte

Guest 23.03.2018
bearbeitet von Gast  23.03.2018
Sortierung: 

1+0 Answers

 #1
avatar+19207 
+1

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}}

\(\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}} \)

 

Induktionsanfang:

n = 1:    linke Seite: \(\dfrac{1}{2^1 } = \dfrac{1}{2}\)
          rechte Seite:  \(2-\dfrac{1+2}{2^1} = 2-\dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich!

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\( \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}\)

 

Induktionsbehauptung:

\(\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\)

 

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1:\)

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i} \\\\ &&=& \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&\overset{I.A.}{=}& \displaystyle 2-\frac{n+2}{2^n} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{n+2}{2^n} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left[ \frac{n+2}{2^n}\cdot\left(\dfrac{2}{2}\right) - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right] \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^n\cdot 2} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^{n+1}} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+2)\cdot 2-(n+1)}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{2n+4-n-1} {2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{n+3}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&& \displaystyle 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} = 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

 

laugh

heureka  23.03.2018

30 Benutzer online

avatar
avatar
avatar
Wir verwenden Cookies um Inhalt und Werbung dieser Webseite zu personalisieren und Social Mediainhalte bereitzustellen. Auch teilen wir Nutzungverhalten unserer Webseite mit unseren Werbe-, Analyse- und Social Media- Partnern.  Siehe Details