Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
Ich komme bis zum Induktionsschritt, jedoch nicht weiter. Es wäre sehr nett wenn mir das bitte jemand Rechnen könnte, mit den Zwischenschritten und evtl. erklärung. Danke Sehr
MfG
DerUnbekannte
Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}}
n∑i=1i2i=2−n+22n
Induktionsanfang:
n = 1: linke Seite: 121=12
rechte Seite: 2−1+221=2−32=12
Für n=1 sind beide Seiten gleich!
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
n∑i=1i2i=2−n+22n
Induktionsbehauptung:
n+1∑i=1i2i=2−(n+1)+22n+1
Beweis des Induktionsschritts n→n+1:
n+1:linke Seite:n+1∑i=1i2i=n∑i=1i2i+n+12n+1I.A.=2−n+22n+n+12n+1=2−(n+22n−n+12n+1)=2−[n+22n⋅(22)−n+12n+1]=2−((n+2)⋅22n⋅2−n+12n+1)=2−((n+2)⋅22n+1−n+12n+1)=2−(n+2)⋅2−(n+1)2n+1=2−2n+4−n−12n+1=2−n+32n+1=2−(n+1)+22n+1rechte Seite:2−(n+1)+22n+1Ergebnis:2−(n+1)+22n+1=2−(n+1)+22n+1 ✓