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2002
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Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

 

Ich komme bis zum Induktionsschritt, jedoch nicht weiter. Es wäre sehr nett wenn mir das bitte jemand Rechnen könnte, mit den Zwischenschritten und evtl. erklärung. Danke Sehr

 

MfG

 

DerUnbekannte

 23.03.2018
bearbeitet von Gast  23.03.2018
 #1
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Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}}

ni=1i2i=2n+22n

 

Induktionsanfang:

n = 1:    linke Seite: 121=12
          rechte Seite:  21+221=232=12
Für n=1 sind beide Seiten gleich!

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
ni=1i2i=2n+22n

 

Induktionsbehauptung:

n+1i=1i2i=2(n+1)+22n+1

 

Beweis des Induktionsschritts nn+1:

n+1:linke Seite:n+1i=1i2i=ni=1i2i+n+12n+1I.A.=2n+22n+n+12n+1=2(n+22nn+12n+1)=2[n+22n(22)n+12n+1]=2((n+2)22n2n+12n+1)=2((n+2)22n+1n+12n+1)=2(n+2)2(n+1)2n+1=22n+4n12n+1=2n+32n+1=2(n+1)+22n+1rechte Seite:2(n+1)+22n+1Ergebnis:2(n+1)+22n+1=2(n+1)+22n+1 

 

 

laugh

 23.03.2018

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