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Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

 

Ich komme bis zum Induktionsschritt, jedoch nicht weiter. Es wäre sehr nett wenn mir das bitte jemand Rechnen könnte, mit den Zwischenschritten und evtl. erklärung. Danke Sehr

 

MfG

 

DerUnbekannte

 23.03.2018
bearbeitet von Gast  23.03.2018
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Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}}

\(\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}} \)

 

Induktionsanfang:

n = 1:    linke Seite: \(\dfrac{1}{2^1 } = \dfrac{1}{2}\)
          rechte Seite:  \(2-\dfrac{1+2}{2^1} = 2-\dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich!

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\( \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}\)

 

Induktionsbehauptung:

\(\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\)

 

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1:\)

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i} \\\\ &&=& \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&\overset{I.A.}{=}& \displaystyle 2-\frac{n+2}{2^n} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{n+2}{2^n} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left[ \frac{n+2}{2^n}\cdot\left(\dfrac{2}{2}\right) - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right] \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^n\cdot 2} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^{n+1}} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+2)\cdot 2-(n+1)}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{2n+4-n-1} {2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{n+3}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&& \displaystyle 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} = 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

 

laugh

 23.03.2018

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