Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
Ich komme bis zum Induktionsschritt, jedoch nicht weiter. Es wäre sehr nett wenn mir das bitte jemand Rechnen könnte, mit den Zwischenschritten und evtl. erklärung. Danke Sehr
MfG
DerUnbekannte
Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}}
\(\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}} \)
Induktionsanfang:
n = 1: linke Seite: \(\dfrac{1}{2^1 } = \dfrac{1}{2}\)
rechte Seite: \(2-\dfrac{1+2}{2^1} = 2-\dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich!
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\( \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i}=2-\frac{n+2}{2^n}\)
Induktionsbehauptung:
\(\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\)
Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1:\)
\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n+1} \frac{i}{2^i} \\\\ &&=& \displaystyle \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&\overset{I.A.}{=}& \displaystyle 2-\frac{n+2}{2^n} + \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{n+2}{2^n} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left[ \frac{n+2}{2^n}\cdot\left(\dfrac{2}{2}\right) - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right] \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^n\cdot 2} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \left( \frac{(n+2)\cdot 2}{2^{n+1}} - \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \right) \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+2)\cdot 2-(n+1)}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{2n+4-n-1} {2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{n+3}{2^{n+1}} \\\\ &&=& \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&& \displaystyle 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} \\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & \displaystyle 2- \frac{(n+1)+2}{2^{n+1}} = 2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)