Kegel und Kugeln, Modellierungsaufgabe

Eine Rieseneiswaffel soll mit Eiskugeln mit dem Durchmesser d = 4,6cm gefüllt werden.

Aufgabe 1: Eisvolumen berechnen. Die Eiswaffel hat die Höhe h = 140 cm.

Wie muss man vorgehen? Es fehlt ja der Radius bzw. Durchmesser

Aufgabe 2: Erläutere die gegebene Höhe von 140 cm.

Hallo Gast!

Zuerst fragen wir: Wie viele Schichten n  dichtgepackte Kugeln gehen in den Hohlkegel?

Ein Kegel aus dichtgepackten Kugeln hat einen Spitzenwinkel von 60°.

Mache dir eine Skizze von einem gleichseitigen Dreieck, Spitze nach unten, mit 6 Kreisen, die das Dreieck ausfüllen.

Kennzeichne die Strecke vom Berührungspunkt der unteren Kugel bis zur Spitze mit a,

die Abstände der Berührungspunkte mit der Seitenlinie mit d.

Dieses stellt den Längsschnitt der 3 unteren Schichten dar ( die 2. Schicht ist verdreht dargestellt).

Radius der Eiskugeln:

                                    $r=\frac{d}{2}=\frac{4,6cm}{2}$               $r=2,3cm$ <

Seitenlinie des 140cm hohen Kegels:

                                   $s_{140cm}=\frac{h}{cos 30°}=\frac{140cm}{cos30°}$       

                                                                     $s_{140cm}=161,66cm$ <

Berührungspunkt erste Kugel bis Spitze:

                                   $a=\frac{r}{tan30°}=\frac{2,3cm}{tan 30°}$          $a=3,98cm$  <                     

Anzahl der Schichten:

                  $s_{140cm}=a+d(n-1)\\ s_{140cm}=a+d\cdot n-d\\ d\cdot n=s_{140cm}+d-a\\ n=\frac{s_{140cm}+d-a}{d}=\frac{(161,66+4,60- 3,98)cm}{4,60cm}$     

                                                                                         $n=35,27$ <

In die Eiswaffel passen                            n = 35 Schichten Eiskugeln. <

Dichte der Füllung des Hohlkegels $\theta$:

In den unteren 3 Schichten befinden sich: 

                       $z_3=(1+3+7)Kugeln$            $z_3=11\ Kugeln$ <

Höhe des 3-Schicht-Hohlkegels:

                        $s_3=(2a+2d)cm=(2\cdot 3,98+2\cdot 4,3)cm\\s_3=16,56cm\\ h_3=s_3\cdot cos30°\\ h_3=16,56cm\cdot cos30°$

                                                                                     $h_3=14,34cm$ <

Durchmesser des 3-Schicht-Hohlkegels:

                        $d_3=2d+2a=(2\cdot 4,3+2\cdot 3,98)cm$ 

                                                                                     $d_3=16,56cm$ <

Volumen des 3-Schicht-Hohlkegels:

                       $V_3=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi \ d_3^2}{4}\cdot h_3=\frac{\pi\cdot d_3^2\cdot h_3}{12} =\frac{\pi\cdot 16,56^2\cdot 14,34}{12}cm^3$

                                                                              $V_3=1029,529cm^3$ <

Raumbedarf einer Kugel:

                       $V_{Kugel}=\frac{V_3}{z_3}=\frac{1029,529cm^3}{11\ Kugeln}$   

                                                               $V_{Kug}=93,594\ cm^3/Kugel$ <

Umhüllungskegel:

Der Kegel, der alle 35 Schichten umhüllt (er ist >140cm).

Seitenlinie des Umhüllungskegels:

                      $s_{35}=2a+d(n-1)=2\cdot 3,98cm+34\cdot 4,6cm$

                                                                                  $s_{35}=164,36cm$ <

Höhe des Umhüllungskegels:

     $h_{35}=s_{35}\cdot cos30°=164,36\cdot cos30°$

                                                                                     $h_{35}=142,34cm$ <

Der Durchmesser eines 60°-Kegels und seine Seitenlinie sind gleich groß.

                           $d_{35}=s_{35}$                                          $d_{35}=164,36cm$

Kleine Pause. Ich muss nachrechnen.

Gruß

  !