Hallo miteinander,
in meinem Mathekurs hatten wir eine Übungsaufgabe, in der per vollständiger Induktion folgendes bewiesen werden sollte:
Gegeben sei:
\(f(x) = \frac{1}{1-x}\)
Die n-te Ableitung von f sei:
\({f}^{n}(x)=\frac{n!}{{(1-x)}^{n+1}}\)
Nun hab ich im ersten Schritt bewiesen, dass die Aussage für n = 1 stimmt.
Allerdings komme ich nicht darauf, wie ich im Induktionsschluss per Umformung zeigen soll, dass die Aussage für n+1, also
\({f}^{n+1}(x)=\frac{(n+1)!}{{(1-x)}^{n+2}}\)
Kann mir da irgendwer weiterhelfen?
LG Simon
+14905 Hallo Simon!
Per vollständiger Induktion soll folgendes bewiesen werden:
Gegeben sei:
\(f(x) = \frac{1}{1-x}\\ {\color{black}Die \ Induktionsannahme\ lautet:}\\ {f}^{n'+1}(x)=\frac{(n+1)!}{{(1-x)}^{n+2}}\)
Die ersten drei Ableitungen errechnen sich
mit der Quotientenregel zu:
\(f^{n'=1}(x)=\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\)
\(f^{n''=2}(x)=\dfrac{2}{\left(x-1\right)^3}\)
\(f^{n'''=3}(x)=\dfrac{6}{\left(x-1\right)^4}\)
Ich versuche morgen weiterzukommen.
15.3. 10 Uhr: Omi67 hat es weitergeführt. Danke!
LG
!
+12527 Hallo Simon,
um das Ableitungsprinzip besser zu verstehen, habe ich die ersten drei Ableitungen aufgeschrieben.
Eigentlich wäre nur die ertse Ableitung nötig gewesen.
Und nun kommt die allgemeine Ableitung:
So würde ich es machen. Eine andere Möglichkeit fällt mir nicht ein.
