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Hallo miteinander,

 

in meinem Mathekurs hatten wir eine Übungsaufgabe, in der per vollständiger Induktion folgendes bewiesen werden sollte:

 

Gegeben sei:

\(f(x) = \frac{1}{1-x}\)

 

Die n-te Ableitung von f sei:

\({f}^{n}(x)=\frac{n!}{{(1-x)}^{n+1}}\)

 

 

Nun hab ich im ersten Schritt bewiesen, dass die Aussage für n = 1 stimmt.

Allerdings komme ich nicht darauf, wie ich im Induktionsschluss per Umformung zeigen soll, dass die Aussage für n+1, also

\({f}^{n+1}(x)=\frac{(n+1)!}{{(1-x)}^{n+2}}\)

 

Kann mir da irgendwer weiterhelfen?

LG Simon

 14.03.2018
 #1
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Hallo Simon!

 

Per vollständiger Induktion soll folgendes bewiesen werden:

Gegeben sei:

 

\(f(x) = \frac{1}{1-x}\\ {\color{black}Die \ Induktionsannahme\ lautet:}\\ {f}^{n'+1}(x)=\frac{(n+1)!}{{(1-x)}^{n+2}}\)

Die ersten drei Ableitungen errechnen sich

mit der Quotientenregel zu:

\(f^{n'=1}(x)=\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\)

\(f^{n''=2}(x)=\dfrac{2}{\left(x-1\right)^3}\)

\(f^{n'''=3}(x)=\dfrac{6}{\left(x-1\right)^4}\)                                                          

 

Ich versuche morgen weiterzukommen.

15.3. 10 Uhr: Omi67 hat es weitergeführt. Danke!

LG

laugh  !

 14.03.2018
bearbeitet von asinus  15.03.2018
bearbeitet von asinus  15.03.2018
 #2
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Hallo Simon,

 

um das Ableitungsprinzip besser zu verstehen, habe ich die ersten drei Ableitungen aufgeschrieben.

Eigentlich wäre nur die ertse Ableitung nötig gewesen.

Und nun kommt die allgemeine Ableitung:

 

So würde ich es machen. Eine andere Möglichkeit fällt mir nicht ein.

 

laugh

 15.03.2018

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