Falls das mit der 2 hinter irgendwas als ² gemeint ist sieht's so aus:
Nochmal die Fragestellung: Für welche \(x \in [-\pi^2, \pi^2]\) gilt
a) \(sin^2(x)-1=0\)
b) \(10sin(x)-0,28=0\)
a) können wir umstellen zu sin²(x)=1. Wir suchen also alle x mit sin(x)=1 oder sin(x)=-1.
Für sin(x)=1 kennt man den Wert \(\frac{\pi}{2}\) und dann kann dazu noch beliebig oft 2Pi addieren oder subtrahieren. Für sin(x)=-1 das gleiche mit \(x=\frac{3\pi}{2}\).
Wir erhalten also \(x \in \{ \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{-3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{-\pi}{2}, \frac{-5\pi}{2} \}\). (Dabei sind die ersten drei Lösungen die für sin(x)=1, die anderen für sin(x)=-1. 7/2Pi ist nicht mehr enthalten, da 7/2>Pi und daher 7/2Pi > Pi².)
b) stellen wir zunächst auch um zu 10sin(x)=0,28 und damit sin(x)=0,028.
Den ersten Wert liefert uns hier der Taschenrechner: \(x_1 = arcsin(0,028) \approx 0,028.\) (oft ist das auf Taschenrechnern die Taste \(sin^{-1}(.)\) statt arcsin().) Auch hier können wir 2Pi addieren/subtrahieren so oft wir wollen. Außerdem ist für den Sinus der Zusammenhang \(sin(x)=sin(\pi-x)\) bekannt. Wenn sin(x)=0,028 also für x=0,028 gilt, dann auch für Pi-0,028 =3,114. Auch dazu können wir nun 2Pi addieren/subtrahieren.
Insgesamt erhalten wir \(x \in \{ 0,028; 6,311;-6,255;3,113;9,397; -3,170;-9,453\}\)
Das sind alle, denn Pi² =9,870. Die ersten 3 Lösungen sind entstanden durch 0,028+Vielfache von 2Pi, die anderen durch 3,113+Vielfache von 2Pi.
!
