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Jo, sollte reichen. Die in meiner ersten Antwort ist natürlich etwas ausführlicher, aber die knappe Variante ist schon nicht weniger richtig - ich sag' mal: Wär ich derjenige, der's korrigieren muss, würd ich dir die Punkte dafür geben.

Bei Beweisen auf dem Level ist es oft schwierig, wo genau man die Linie zwischen "ist wirklich offensichtlich" und "ist zu zeigen" zieht. Persönlich wär ich aber schon der Meinung, dass sowohl \(A \cap (B \backslash C) = (A \cap B) \backslash C\) als auch \((A \cap B) \backslash C = (A \cap B) \backslash (C \cap A)\) offensichtlich sind. Die erste klappt sowieso, die zweite stimmt, weil ich ja nur Elemente aus dem Schnitt von A&B rausnehmen kann, die da auch tatsächlich drin sind.

ist das die komplette rechnung??

Eventuell klappts auch einfacher:
Es ist ohnehin \(A \cap (B \backslash C) = (A \cap B) \backslash C\), und das ist dann auch offenbar gleich der rechten Seite, weil die Elemente aus C, die nicht auch in A (und in B) sind, sowieso bei der Differenzbildung keinen Unterschied machen.

\(x \in A \cap (B \backslash C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in (B \backslash C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \notin C \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \notin (C \cap A)\land x \notin C \backslash A\\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \notin (C \cap A) \\ \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \land x \notin (C \cap A) \\ \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \backslash (C \cap A)\)

Dabei ist Zeile 4 äquivalent zu Zeile 5, da Elemente aus A ohnehin nie in C\A sind.

Wir sehen also: Ist ein Element in der linken Menge, dann ist es auch in der rechten, und andersrum. Die Mengen sind folglich gleich.

omg 5Head danke man

Eventuell will man im Fall eines negativen Teilers auch, dass \(-17 \leq b \leq 0\). Dann stimmt die Gleichung für a=-6 und b=-6, die -17 würde also -6 Mal in die 96 passen.

Solche Teilen-mit-Rest-Fragen für negative Zahlen lösen zu wollen ist eher unüblich. Ich könnte mir gut vorstellen, dass du eventuell die Angabe falsch abgeschrieben hast - kann das sein?

Um Fragen dieser Art zu lösen, suchen wir Zahlen \(a, b \in \mathbb{Z}\), für die gilt

\(a \cdot (-17) +b = 96\) und \(0 \leq b \leq 17\). .

Für a=-5 und b=11 stimmt die Gleichung, die -17 geht also -5 Mal in die 96. 

1+1=2

Du kannst dafür auch den Rechner hier oder deinen Taschenrechner benutzen.

Um die Aufgabe zu lösen, überlegen wir uns zunächst, welche Elemente in \((M \cup N) \backslash K\) enthalten sind:

In \((M \cup N) \) sind alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen M oder N enthalten sind, also ist \((M \cup N) = \{ 1, 2, 3, 4, 5, a, b, c\}\).

Daraus entfernen wir nun alle Elemente, die in K enthalten sind, und erhalten:

\((M \cup N) \backslash K = \{1, 2, 3, 5, a \}\) - diese Menge enthält offenbar 5 Elemente.

2+2*2=6 - dafür könntest du auch den Rechner nutzen. "Punkt vor Strich" ist hier wichtig.

Ein Bruch, bei dem Zähler&Nenner übereinstimmen, hat stets den Wert 1.

Danke dir! :)
Ist immer schön, wenn am Ende jemand was verstanden hat!

56+4394893,99 = 4394949,99

Für solche Rechnungen kannst du auch den web2.0-Rechner (oder einen einfachen Taschenrechner) benutzen.

Das ist bewundernswert. Danke Probolobo!

  !

Der Induktionsanfang ist ja wie gewohnt einfach: Eine Gerade teilt die Ebene in 2=(1²+1+2)/2 Teile.

Für den Induktionsschritt muss ich nochmal nachfragen: Was genau bedeutet "in allgemeiner Lage" hier? Soll kein Punkt von 3 oder mehr Geraden getroffen werden? Bin mir relativ sicher, dass das für die Aussage notwendig ist.

Ein Gegenbeispiel macht das ganz gut deutlich: Drei Ursprungsgeraden teilen die Ebene in 6 Stücke, aber (3²+2+2)/2=7.

Mit dieser Annahme klappt dann auch der Induktionsschritt:
Wir nehmen an, dass die ersten n Geraden die Ebene in (n²+n+2)/2 Teile teilt. Wir fügen dieser Konstellation nun eine Gerade hinzu. Diese schneidet die bisherigen n Geraden in jeweils einem Punkt, es gibt also nun n neue Schnittpunkte (weil sich ja nirgends mehr als 2 Geraden treffen.)

Die Abschnitte der neuen Geraden, die von jeweils 2 Schnittpunkten berandet sind, teilen genau ein Flächenstück in 2 Flächenstücke auf. Von solchen Abschnitten gibt es n-1 Stück, also n-1 "neue" Flächen. Die beiden "Endstücke" teilen ebenfalls ein Flächenstück auf, also gibt es noch 2 neue Flächenstücke mehr, insgesamt dann n+1.

Da es vorher (Induktionsannahme!) (n²+n+2)/2 Teile gab, gibt es mit einer Geraden mehr genau

\(\frac{n^2+n+2}{2}+n+1 = \frac{n^2+n+2+2n+2}{2} = \frac{n^2+2n+1+n+3}{2} =\frac{(n+1)^2+(n+1)+2}{2}\) Flächenstücke. Damit ist der Induktionsschritt abgeschlossen.

Als Vielfache von 6 bezeichnet man die Zahlen, die entstehen, wenn man 6 mit einer ganzen Zahl multipliziert.

Das wären beispielsweise 6 selbst, 12, 18, 24, 30, ...

Ich hoffe, das beantwortet deine Frage. Frag' gern nochmal nach wenn nicht.

Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Werte, bei denen die Funktion den Wert 0 ausgibt.

Wir suchen also für \(f(x)=\frac{1}{4}x^2\) die x-Werte, bei denen gilt \(\frac{1}{4}x^2 = 0\).

Hier ist das in einer relativ kleinen Rechnung machbar:

\(\frac{1}{4}x^2 = 0 \ \ \ |:\frac{1}{4} \\ x^2 = 0 \ \ \ |\sqrt. \\ x_{1/2} = 0\)

Ganz allgemein für quadratische Funktionen (der Form ax²+bx+c) klappt das am schnellsten mit der sog. Mitternachtsformel

\(x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a}\)

Vielen Dank für eure Antworten, habe alles verstanden!

Danke :) 

Wir summieren hier alle ungeraden Zahlen auf.

Der Induktionsanfang ist - wie sehr oft bei Induktionsbeweisen - sehr schnell abgehandelt:
Für n=1 ist 1=1².

Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt (Induktionsvoraussetzung!), und folgern, dass sie auch für n+1 gilt.

\(1+3+5+...+(2n-1) + (2n+1) = * \\ n^2 + (2n +1) = \\ (n+1)^2\)

Bei (*) habe ich die Induktionsvoraussetzung genutzt. Das Ergebnis ist dann eine binomische Formel, das ruft eventuell 8.-Klasse-Flashbacks hervor ;)

Sehr gern! :)

Super danke dir! :) 

Induktionsanfang: n = 5: 2^5 = 32 > 25 = 5^2 - passt!

Wir nehmen also nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, und folgern daraus, dass sie auch für n+1 gilt:

\(2^{n+1} = \\ 2 \cdot 2^n \geq * \\ 2 \cdot n^2 \geq ** \\ (n+1)^2\)

Dabei habe ich in (*) die Induktionsvoraussetzung benutzt.

(**) folgt, weil \(2n^2 = n^2 + n^2 \geq n^2 +2n+1 = (n+1)^2\) offenbar gilt für n größer oder gleich 5.

Immer gern! :)
Der ganze Induktionsschritt ist übrigens in meiner anderen Antwort.

Danke Probolobo für die ausführliche Erklärung!