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Ja okay.

So wie du das schreibst ist das kein sinnvoller Ausdruck - es sollten nie zwei Rechenzeichen aufeinander folgen. 

Falls du nach einer Regel á la "Minus mal Minus ist Plus" für mehrere Vorzeichen suchst: Da gibt's natürlich was. Man könnte deine Vorgabe etwa auf folgende Art zu einem ergiebigeren Ausdruck umformen:

\(--+-++++-+--++-+- = \\ (-1)(-1)(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)(-1)(-1)(+1)(+1)(-1)(+1)(-1) = \\ (-1)^8(+1)^9 = (+1)(+1) = +1\)

Dabei fasse ich jeweils die -1-Faktoren und die +1-Faktoren zusammen. Durch "Minus mal Minus = Plus" folgt, dass (-1) mit geradem Exponenten wieder +1 ergibt, mit ungeradem Exponenten dann -1. So kann man schnell das Vorzeichen eines Produktes aus mehreren Faktoren bestimmen.

Alles, vor dem ein Minus steht, wird abgezogen. Man kann bei einer solchen Rechnung auch umsortieren, wie man will, solange man die Vorzeichen dabei mitnimmt - vielleicht hilft dir das:

+25-94+22-12 =

+25 +22 -94 -12 = 

47 -94 -12 = 

-47 -12 = 

-59

Klar!

Eigentlich erstmal wie ausmultiplizieren, richtig.

Bei der ersten nutze ich im letzten Schritt, dass "a oder nicht-a" sowieso immer wahr ist. Daher sind beide Klammern genau dann wahr, wenn die rechte wahr ist.

Die Lösung zur zweiten Aufgabe gehe ich mal Schritt für Schritt durch:

\((a \lor b) \land (a \lor \neg b) = \ \ | linke \ Klammer \ aufgeloest \\ (a \land (a \lor \neg b)) \lor (b \land (a \lor \neg b)) \ \ | innere \ Klammern \ aufl.\\ (( a \land a ) \lor (a \land \neg b)) \lor ((b \land a) \lor (b \land \neg b)) \ \ | a \land a = a, b \land \neg b = 0\\ (a \lor (a \land \neg b)) \lor (b \land a) = \ \ |a \land \neg b \Rightarrow a \\ a \lor (b \land a) = \ \ | b \land a \Rightarrow a\\ a\)

Bei den letzten beiden Schritten nutze ich, dass die eine der Aussagen, die mit "Oder" verknüpft ist, "in der anderen enthalten ist" - sind keine Mengen, aber so kann man sichs ganz gut vorstellen. Sprich, wenn a und nicht-b wahr sind, dann ist ja automatisch a wahr - also kann ich mir gleich nur a anschauen. Das gleiche im letzten Schritt: Wenn a wahr ist oder b&a wahr sind, dann ist halt a wahr. 

Dass das so klappt, kann man sich auch gut wie folgt klar machen: Wenn ich dir sage, dass Aussage 1 stimmt, oder Aussage1 und Aussage2 gleichzeitig stimmen, dann ist das einzige, was du schlussfolgern kannst, dass Aussage 1 stimmt - über Aussage 2 ist trotzdem gar nichts bekannt.

Ich hoffe, das macht's etwas klarer. Frag gern nochmal nach wenn was noch nicht nachvollziehbar ist!

Da steh ich ja voll auf dem Schlauch also eigentlich wie ausmultiplizeren

Kannst du den Lösungsweg bitte noch etwas präzisieren?

Der Klammerinhalt vom ersten Lösungsschritt der ersten Aufgabe kann ich noch nachvollziehen.

Find den Wiki-Eintrag eigentlich ganz ergiebig:
https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Logik

Üblicherweise kann man in dem Bereich auch viel mit Wahrheitstabellen zeigen. Das ist zwar etwas zäh, aber bekommt den Job erledigt.

Dafür löse ich eigentlich erstmal nur die Klammern auf und vereinfache dann soweit möglich:

\(a \lor (\neg a \land b) = (a \lor \neg a ) \land (a \lor b) = a \lor b \\ und \\ (a \lor b) \land (a \lor \neg b) = ( a \land (a \lor \neg b) )\lor ( b \land (a \lor \neg b)) \\ (a ) \lor (b \land a ) = a\)

Bin gerade noch auf der Suche nach guter Theorie bzw. Formelsammlung

Ne, für mich wär' das Ergebnis "Nein, das ist keine Formel". 

\(A_1 \lor \neg A_2\) ist nur ein Beispiel, wie der Ausdruck für mich zumindest irgendeinen Sinn hätte. So wie's dasteht kann ich da gar nichts sinnvolles rauslesen.

also wäre für dich das Ergebniss "A1 V - A2 ´?

Das kommt ein bisschen darauf an, was ihr genau unter "Formel" versteht, und was ihr mit dem "¬" ausdrückt. 

Normalerweise versteht man unter dem Begriff "Formel" eine Gleichung, die den Zusammenhang zwischen einer Zielgröße und einer oder mehreren anderen Größen angibt. (Beispielsweise \(V_{Kugel} =\frac{4}{3}r^3 \pi\) für das Kugelvolumen - gibt den Zusammenhang zwischen Volumen und Radius an.)

Das "¬" steht in der Regel für "nicht", also die Negation einer Aussage.

Mit einer Logik-Verknüpfung zwischen A1 und nicht-A2 könnte man zumindest noch die Aussage verstehen (zB. \(A_1 \lor \neg A_2\) -> "A1 oder nicht A2"), aber so wie's dasteht seh' ich tatsächlich gar keinen Sinn darin, insbesondere ist das für mich dann auch keine Formel. Wie gesagt kann das aber falsch sein, falls ihr unter dem Begriff "Formel" etwas anderes versteht.

Wo ist das Summenzeichen?

Hello Guest!

Tippe auf:  \(\sum Latex\)

Lösche:  x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}

Gib ein: \sum

Tippe auf: OK

Ergebnis:  \(\sum\)

  !

Wie kann ich bei dem Ergebnis das Zwischenergebnis abschalten?

Hallo Gast!

Meines Wissens geht das hier nicht, aber vielleicht ist dir geholfen, wenn du den Link geklickt hast:

Soweit ich weiss gar nicht. 

Dafür gibt's aber einige andere Seiten, die gut funktionieren. Diese zum Beispiel: http://www.mathe24.net/modulo.html

Wenn du die Frage gar so knapp formulierst, ist nicht wirklich klar, was du genau wissen willst.

Aus geometrischer Sicht ist ein Quadrat ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten und vier rechten Winkeln.

Auch die multiplikation einer Zahl mit sich selbst spricht man oft als "Quadrat": 3²=9 wird gesprochen als "Drei Quadrat gleich neun."

Zu guter letzt bezeichnet man ein Polynom von Grad 2 als "quadratisches Polynom".

Der ist zugegebenermaßen etwas tricky. Ich zeige dazu zunächst zwei kleine Zwischenergebnisse vorneweg, die du eventuell schon kennst. Dann musst du sie natürlich nicht nochmal zeigen.

Zum einen brauchen wir folgende Aussage (1): \(\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\)

Wir rechnen das mit Hilfe der Bruch-Definition der Binomialkoeffizienten nach:

\(\binom{n+1}{k} = \\ \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!\cdot k!} = \\ \frac{(n+1)\cdot n!}{(n+1-k)!\cdot k!} = \\ \frac{(n+1-k+k)\cdot n!}{(n+1-k)!\cdot k!} = \\ \frac{(n+1-k)\cdot n!}{(n+1-k)!\cdot k!} + \frac{k \cdot n!}{(n+1-k)!\cdot k!} = \\ \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} + \frac{n!}{(n-(k-1))!\cdot (k-1)!} = \\ \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \)

Ok, so weit, so gut. Jetzt gibt's noch das zweite Vor-Resultat: (2): \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n\)

Das zeigen wir per Induktion. Für n=0 passt's auf jeden Fall, nun sei die Aussage wahr für ein n.

\(\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = \\ \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} +1+1 = \\ \sum_{k=1}^{n}( \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}) +1+1 = \\ \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1} +1+1 =^* \\ \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k} +1+1 = \\ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = \\ 2^n+2^n = 2^{n+1}\)

Im letzten Schritt habe ich zweimal die Induktionsvoraussetzung genutzt, bei * wird ein Index-Shift in der zweiten Summe vollzogen. 

Mit (1) und (2) können wir nun die eigentliche Aussage zeigen. Der Induktionsanfang klappt hier wie gewohnt (Für n=1 sind beide Seiten der Gleichung 1.). Die Aussage sei wahr für ein n. Es ist wieder ein Index-Shift nötig, den entsprechenden Schritt kennzeichne ich wieder mit einem *.

\(\sum_{k=1}^{n+1} k \cdot \binom{n+1}{k} = \\ \sum_{k=1}^n k \cdot \binom{n+1}{k} +n+1 =^{(1)}\\ \sum_{k=1}^n k \cdot ( \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}) +n+1 =\\ \sum_{k=1}^n k \cdot \binom{n}{k} +\sum_{k=1}^n k \cdot \binom{n}{k-1} +n+1 =^* \\ \sum_{k=1}^n k \cdot \binom{n}{k} +\sum_{k=0}^{n-1} (k+1) \cdot \binom{n}{k} +n+1 = \\ \sum_{k=1}^n k \cdot \binom{n}{k} +\sum_{k=0}^{n-1} k \cdot \binom{n}{k} +\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} +n+1 =^{**} \\ \sum_{k=1}^n k \cdot \binom{n}{k} +\sum_{k=1}^{n} k \cdot \binom{n}{k} +\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} =^{IV, (2)} \\ n \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^{n-1} + 2^n = \\ n \cdot 2^n + 2^n = \\ (n+1) \cdot 2^n\)

Bei ** zieh' ich das n in die zweite Summe, als n-ten Summanden, und starte die zweite Summe bei 1, weil der Summand mit k=0 eh gleich 0 ist. Die einzelne 1 wandert in die dritte Summe, als n-ter Summand.

Damit sind wir fertig und haben dafür (1), (2) und die Induktionsvoraussetzung gebraucht. Frag' gern nach wenn noch irgendwas unklar ist! :)

Es fliegt ein A300 entlang einer Wurfparabel. Das Flugzeug gelangt bei einer Höhe von 7500m mit einer Geschwindigkeit von 660km/h und einem Anstellwinkel von 47 Grad auf die Bahn der Wurfparabel. Die Maschine verlässt die Bahn der Wurfparabel, wenn die Anfangshöhe von 7500m wieder erreicht ist. Während des Fluges auf der Wurfparabel herrscht im Flugzeug Schwerelosigkeit.

1.) Welche Strecke über dem Boden legt das Flugzeug während der Schwerelosigkeit zurück?
2.) Wie lange dauert die Schwerelosigkeit?
3.) Welche maximale Flughöhe erreicht das Flugzeug ?

Hallo Gast!

\(v= \frac{660\ km}{h}\cdot \frac{1000\ m}{km}\cdot \frac{h}{3600\ s}\\ v=183,\overline 3\ m/s\)

Beim Durchfliegen der Flughöhe 7500m wird der Antrieb des A300 abgestellt.

zu 2.)

Die Höhenänderung über dem Niveau 7500m folgt der Parabel

\(f(t)=\Delta h=sin(47°)\cdot v\cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2\)

Ist das Flugzeug nach dem Durchfliegen der Wurfparabel wieder auf Höhe 7500m, ist:

\(\Delta h=sin(47°)\cdot v\cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2=0\\ -\frac{1}{2}g\cdot t^2+sin(47°)\cdot v\cdot t=0\\ -\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2+sin(47°)\cdot 183,33\cdot t=0\\ -4.905\cdot t^2+134,08\cdot t=0\\ 4,905t=134,08\)

\(t=27,336\ s\)

Die Schwerelosigkeit dauert 27,34 Sekunden.

zu 1.)

Die  Geschwindigkeit in horizontaler Richtung beträgt

\(v_h=cos(47°)\cdot 183,\overline 3\ m/s. \)

Dann ist

\(s=v_h\cdot t=183,\overline 3\ m/s\cdot 27,366\\ \color{blue}s=\color{blue}5011,541\ m\)

Die Flugstrecke über Grund beträgt während der Schwerelosigkeit 5011,5m.

zu 3.)

\(f(t)=-4.905\cdot t^2+134,08\cdot t\\ \frac{df(t)}{dt}=-9,81\cdot t+134,08=0\\ t=\frac{134,08}{9,81}\)

\(t=13,668\ s\)   

         (\(die\ Zeit\ ohne\ Antrieb\ bis\ zur\ maximalen\ Flugh\ddot ohe\))

\(\Delta h=-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 13,668^2+sin(47°)\cdot 183,33\cdot 13,668\)

\(\color{blue}\Delta h=916,227\ m\\ h=7500\ m+\Delta h=7500\ m+916,227\ m\)

\(h=8416,23\ m\)

Das Flugzeug erreicht die maximale Höhe von 8416m.

  !

Wie bei einigen der ersten Induktionsbeweise, die man im Studium so sieht, ist der Induktionsanfang überschaubar:

Für n=1 ist \(\sum_{k=1}^1 \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} = 1 \leq 1 = 2-\frac{1}{1}\), da stimmt die Aussage also.

Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, und folgern, dass sie auch für n+1 gelten muss:

\(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2} = \\ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq \\ 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} = \\ 2 - \frac{(n+1)^2}{n(n+1)^2} + \frac{n}{n(n+1)^2} = \\ 2 - \frac{n^2+2n+1-n}{n(n+1)^2} = \\ 2 - \frac{n^2+n+1}{n(n+1)^2} = \\ 2 - \frac{n(n+1)}{n(n+1)^2}-\frac{1}{n(n+1)^2} \leq \\ 2 - \frac{1}{n+1}\)

Für die erste Ungleichheit habe ich dabei die Induktionsvoraussetzung benutzt, die zweite Ungleichung folgt, weil 1/n(n+1)² >0 und durch Kürzen.

Toll erklärt^^

Diese Frage ist wohl nicht wiklich klar zu beantworten. Erwiesenermaßen haben auch schon frühe Hochkulturen, etwa im heutigen China & Ägypten, Mathematik betrieben. Viele heute bekannte Mathematiker waren im antiken Griechenland zu finden. 

Davon zu sprechen, dass diese Menschen Mathe "erfunden" haben, ist trotzdem in den Augen einiger Leute falsch. Viele sind eher der Meinung, dass die Mathematik gar nicht erfunden wird, sondern eher schon da ist und nur entdeckt wird. Das ist nachvollziehbar, wenn man beachtet, wie wenige Definitionen nötig waren, damit alle Zahnrädchen so reibungslos ineinandergreifen. Es wäre ja doch ein großer Zufall, dass jedes neue Forschungsresultat ideal zu den bisherigen Erkenntnissen passt.

Man kann sich zu dem Thema durchaus den Wiki-Artikel zu Gemüte führen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Mathematik

Das ist durchaus keine Frage, deren Antwort direkt komplett offensichtlich ist. Klar wissen wohl die meisten Leute, dass "Minus mal Minus Plus ergibt", aber nur wenige werden wirklich wissen warum. Die meisten werden das wahrscheinlich in ihrer Schulzeit als Fakt hingenommen haben - man kann sich aber durchaus Gedanken machen, wieso das so ist. 

Diese Frage ist meiner Meinung nach daher wirklich keine "dumme Frage", und den Fragesteller hier zu beleidigen ist komplett fehl am Platz.

Um das zu zeigen, nehmen wir uns zwei positive Zahlen a&b.

Da wir das Ergebnis zunächst nicht kennen, nenne ich das Produkt aus a&b einfach mal x. Mit der entstehenden Gleichung "spielen wir ein bisschen herum": 

\(-a \cdot (-b) = x \ \ | +a \cdot (-b) \\ -a \cdot (-b) +a \cdot (-b) = x +a \cdot (-b) \ \ |(-b) ausklammern \\ (-a+a)(-b) = x +a \cdot (-b) \\ 0 = x +a \cdot (-b) \ \ | +a \cdot b \\ ab = x + a \cdot (-b) + a \cdot b \ \ |a \ ausklammern \\ ab = x + a(-b+b) \\ ab = x\)

Wir sehen also: Wenn wir mit -a*(-b) starten, kommt das gleiche Ergebnis wie bei a*b heraus - und das Produkt zweier positiver Zahlen ist auf jeden Fall  positiv. Minus mal Minus ergibt also Plus!

Für das Volumen einer Pyramide sind die Grundfläche und die Höhe relevant.

Das Volumen ergibt sich dann wie folgt:

\(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\)

Dabei ist G die Grundfläche und h die Höhe der Pyramide. Die Grundfläche wird je nach Form der Grundfläche anders berechnet - bei einer quadratischen oder rechteckigen Grundfläche beispielsweise also Seitenlänge mal Seitenlänge.

minus 1