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Seien w,x,y,z reele Zahlen mit x,y >= (größer gleich) 0. Zeigen Sie:

a) es gilt folgende Äquivalenz: x<= y <--> x2 <= y2

b) Es gilt IWurzelx-Wurzel yI <= (kleiner gleich) Wurzel aus x-y

(Nutzen Sie a und zeigen Sie die Ungleichung für die Quadrate der Terme)

c) Gilt w/x <= w+x/x+y<=z/y

 21.11.2020
 #1
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Zur a): Die eine Richtung ist wohl klar. Sei nun also \(x^2 \leq y^2.\) Ist x=0, so ist die Ungleichung offenbar erfüllt. Wir können daher für die folgende Rechnung x>0 annehmen.

Dann folgt:

\(x^2 \leq y^2 \\ x^2 - y^2 \leq 0 \\ (x+y)(x-y) \leq 0 \ \ |:(x+y) \\ x-y \leq 0 \\ x \leq y\)

 

Für b) möchte ich zunächst festhalten, dass \(x \geq y\) sein muss, da sonst die Wurzel aus x-y in den reellen Zahlen nicht definiert ist.

Wir nutzen jetzt a) und quadrieren zunächst beide Seiten. Dann erhalten wir folgendes:

\(| \sqrt{x}-\sqrt{y}|^2 \leq \sqrt{x-y}^2 \\ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \leq x-y \\ x -2\sqrt{xy}+y \leq x-y \\ y-2\sqrt{xy} \leq -y \\ 2 ( y-\sqrt{xy}) \leq 0 \\ y \leq \sqrt{xy}\)


 

Die letzte Ungleichung stimmt, denn wir können x schreiben als x=y+d mit irgendeiner positiven Zahl d (oder d=0), da x größer oder gleich y ist. dadurch ist xy = y²+dy und somit die Wurzel daraus größer als y (oder natürlich gleich, wenn x=y und d=0 ist.).

 

 

Bei der c) bin ich nicht sicher was genau gemeint ist. Für mich sieht das aus als wäre zu zeigen, dass gilt

\(\frac{w}{x} \leq \frac{w+x}{x+y}\leq\frac{z}{y}\)

Diese Ungleichungskette stimmt aber nicht für alle w, x, y, z - offenbar ists falsch für x=y=w=2 & z=1.

Was ist denn da die richtige Angabe? Gibts noch Zusatz-Infos zu z&w?

 21.11.2020

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