+3976 Ahja da kommt's halt immer darauf an, in welchem Kontext man sich bewegt. Typischerweise wird deine Gleichung als Gleichung in \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) betrachtet. Dort stimmt sie offenbar, letztendlich bewiesen durch die Konstruktion der natürlichen Zahlen durch ein Eins-Element und eine Nachfolger-Funktion. Dann ist nämlich 2 der "Nachfolger" von 1 und kann daher geschrieben werden als 1+1. (In den "größeren" Zahlenmengen ist's dann aufgrund der Existenz der kanonischen Einbettung klar.)
Über endlichen Körpern stimmt die Gleichung auch, solange deren Charakteristik nicht gleich 2 ist. Im Körper \(\mathbb{F}_2 = \{ 0, 1 \}\) ist dann 1+1=0, sodass auch dieser Körper die Körperaxiome erfüllt.
Natürlich kann man deine Gleichung nicht nur als "Zahlen-Gleichung" auffassen, sondern auch als Aussage über beispielsweise Abbildungen zwischen irgendwelchen Mengen interpretieren. Dann müssen entweder die Mengen passende Verknüpfungen ihrer Elemente bereitstellen oder die Addition von solchen Abbildungen irgendwie sinnvoll definiert sein. Dabei kann die Gleichung durchaus kaputt gehen.
Ohne mehr Kontext ist es daher erstmal nicht möglich, dir einen konkreten Beweis zu liefern. Davon ausgehend, dass du hier die klassische Gleichung mit "normalen" Zahlen meinst, ist der oberste Absatz als Antwort hoffentlich ausreichend.
