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Für welche x-Werte im Intervall [−π2;π2] gilt sin2(x)−1,10sin(x)+0,28=0?

 23.11.2020
 #1
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Für welche x-Werte im Intervall [−2π; 2π] gilt

sin(2x)−1,1sin(x)+0,28 = 0?

 

Hallo Gast, ist das deine Gleichung?

 

Im Intervall [−2π; 2π] gilt:

\(x\in\{-5,121; -3,323;-0,694;-0,378;\ \)

                          \(1,162;\ 3,051;\ 5,590;\ 5,905\}\ graphisch\ ermittelt\)

laugh  !

 24.11.2020
bearbeitet von asinus  24.11.2020
 #2
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Falls das mit der 2 hinter irgendwas als ² gemeint ist sieht's so aus:

Nochmal die Fragestellung: Für welche \(x \in [-\pi^2, \pi^2]\) gilt

a) \(sin^2(x)-1=0\)

b) \(10sin(x)-0,28=0\)

 

a) können wir umstellen zu sin²(x)=1. Wir suchen also alle x mit sin(x)=1 oder sin(x)=-1.

Für sin(x)=1 kennt man den Wert \(\frac{\pi}{2}\) und dann kann dazu noch beliebig oft 2Pi addieren oder subtrahieren. Für sin(x)=-1 das gleiche mit \(x=\frac{3\pi}{2}\).

Wir erhalten also \(x \in \{ \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{-3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{-\pi}{2}, \frac{-5\pi}{2} \}\). (Dabei sind die ersten drei Lösungen die für sin(x)=1, die anderen für sin(x)=-1. 7/2Pi ist nicht mehr enthalten, da 7/2>Pi und daher 7/2Pi > Pi².)

 

b) stellen wir zunächst auch um zu 10sin(x)=0,28 und damit sin(x)=0,028.

Den ersten Wert liefert uns hier der Taschenrechner: \(x_1 = arcsin(0,028) \approx 0,028.\) (oft ist das auf Taschenrechnern die Taste \(sin^{-1}(.)\) statt arcsin().) Auch hier können wir 2Pi addieren/subtrahieren so oft wir wollen. Außerdem ist für den Sinus der Zusammenhang \(sin(x)=sin(\pi-x)\) bekannt. Wenn sin(x)=0,028 also für x=0,028 gilt, dann auch für Pi-0,028 =3,114. Auch dazu können wir nun 2Pi addieren/subtrahieren.

Insgesamt erhalten wir \(x \in \{ 0,028; 6,311;-6,255;3,113;9,397; -3,170;-9,453\}\)

Das sind alle, denn Pi² =9,870. Die ersten 3 Lösungen sind entstanden durch 0,028+Vielfache von 2Pi, die anderen durch 3,113+Vielfache von 2Pi.

 24.11.2020
bearbeitet von Probolobo  24.11.2020
 #3
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Ok, sorry, ich bin auch doof :D

Ich lass die Offtopic-Lösung trotzdem stehen, vielleicht hilft's ja wem - für die Angabe, die ich dazugeschrieben hab', stimmt's ja. 

 

Wir lösen im Intervall \([-\pi^2;\pi^2]\) die Gleichung \(sin^2(x)-1,1sin(x)+0,28=0\)

Das ist ein typisches Beispiel für eine Aufgabe, bei der uns Substitution weiterhilft:

 

\(sin^2(x)-1,1sin(x)+0,28=0 \\ (sin(x))^2-1,1 \cdot sin(x) +0,28 = 0 \ \ \ |u=sin(x) \\ u^2-1,1u+0,28=0\)

 

Jetzt haben wir eine einfache quadratische Gleichung, die wir mit Hilfe der Lösungsformel lösen können:

 

\(u_{1/2}=\frac{1,1\pm\sqrt{1,1^2-4\cdot 1 \cdot 0,28}}{2}=\frac{1,1 \pm 0,3}{2} \\ \Rightarrow u_1 = 0,4; u_2 = 0,7.\)

 

Mit diesen Lösungen können wir nun zurück in unsere Substitutionsgleichung. Wir lösen also sin(x)=0,4 und sin(x)=0,7. Das funktioniert dann genauso wie in meiner anderen Lösung:

 

Zu sin(x)=0,4 liefert der Taschenrechner die Lösung 0,41 (ich nehm' jetzt hier mal zwei Nachkommastellen, weil das die Angabe auch so macht.)

Den Rest bekommen wir durch Addieren von Vielfachen von 2Pi (und abziehen halt.).

Zu sin(x)=0,7 liefert der Taschenrechner die Lösung 0,78. Weitere Lösungen analog wie oben.

 

Insgesamt erhalten wir 

\(x \in \{0,41; 6,69;-5,87;0,78; 7,06;-5,50\}\)- die ersten drei Lösungen von sin(x)=0,4, die zweiten drei von sin(x)=0,7.

 24.11.2020

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