+15139 0.5=2*cos(alpha)^2-cos(alpha)^3
Hallo Gast!
Der Term ist mehrdeutig. Was ist gemeint?
A) \(0,5=2\cdot cos^2 \alpha-cos^3\alpha\)
B) \(0,5=2\cdot(cos\ \alpha^2)-(cos\ \alpha^3)\)
Mit Hinsicht auf eine reelle Verwendung der Gleichungen in der Technik
ist Gleichung B) unwahrscheinlich. Also:
\(0,5=2\cdot cos^2 \alpha-cos^3\alpha\\ cos^3\alpha-2\cdot cos^2\alpha+0,5=0\) Seitentausch mit Vorzeichenwechsel
Zur Vereinfachung wird substituiert: \(x=cos\ \alpha\)
Mit x eingesetzt gilt
\(x^3-2x^2+0,5=0\)
Mit Arndt-Brünner
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm
ermittelte Nullstellen:
\(x_1=cos\ \alpha_1=\) -0,45160596295577665
\(x_2=cos\ \alpha_2=\) 0,5969682832373152
\(x_3=cos\ \alpha_3=\)1,8546376797184614
\(x_3\) entfällt, weil \((-1) \leqq cos\ \alpha\leqq(1)\) sein muss.
\(\alpha_1{\color{black}=arc\ cos(-0,45160596295577665)}=116,847°\\ \alpha_2{\color{black}=arc\ cos(0,5969682832373152)}=53,347°\)
Probe:
\(\alpha_1\)
\(0,5=2\cdot cos^2 \alpha_1-cos^3\alpha_1\\ 0,5=2\cdot (-0,45160596295577665)^2 -(-0,45160596295577665)^3\)
\(0,5= 0,407895891554-(-0,0921041084457)\\ \color{blue}0,5=0,5\)
\(\alpha_2 \)
\(0,5=2\cdot cos^2 \alpha_2-cos^3\alpha_2\\ 0,5=2\cdot (0,5969682832373152)^2-(0,5969682832373152)^3\\ 0,5= 0,712742262382-0,212742262382\\ \color{blue}0,5=0,5\)
Die Gleichung wird außerdem erfüllt mit den Winkeln
\(\alpha_{1a}{\color{black}=360°-116,847°}=243,153°\\ \alpha_{2a}{\color{black}=360°-53,347°}=306,653°\)
Gruß 
!
