Funktion
Ich habe eine Funktion und weiß einfach nicht, wie ich das alles rechnen soll.
f(x)= xhoch5-9xhoch4 + 27xhoch3 - 27hoch2
a) Bestimme alle Nullstellen der Funktion f(x)
b) Bestimme alle Hoch und tiefpunkte der Funktion f(x)
c) Bestimme alle Wende und sattelpunkte der Funktion f(x)
Hallo Gast!
Ich vermute, du hast in deiner Funktion im letzten Term ein x vergessen. Stimmt's ?
\({\color{BrickRed}f(x)=x^5-9x^4+27x^3-27x^2}\\ f'(x)=5x^4-36x^3+81x^2-54x\\ f''(x)=20x^3-108x^2+162x-54\)
a) Nullstellen der Funktion
\(f(x)=x^5-9x^4+27x^3-27x^2\\ =x^2(x^3-9x^2+27x-27)=0\\ x^2=0\\ \color{blue}x_{1,2}=\pm0\)
\(x^3-9x^2+27x-27=(x-3)(x-3)(x-3)\\ \color{blue }x_{3,4,5}=3\)
b) Die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) sind die Werte f(x) bei den Nullstellen der 1. Ableitung.
\(f'(x)=5x^4-36x^3+81x^2-54x=0\\ x=0\\ 5x^3-36x^2+81x-54=0 \)
Tabelle: -1; 0; 1; 2; 3; 4 x
176; 0;-4; 8; 0; 56 f'(x)
Nullstellen: x = 0 und x = 3
\(x=0\\ f(0)=x^5-9x^4+27x^3-27x^2=0\\ f''(0)=20x^3-108x^2+162x-54=-54\\ bei\ Maxima\ ist\ f''(x)\ negativ.\\ \color{blue }x_{max}=0\)
\(P_{max}(0 | 0)\)
Kleine Pause.
Meine kleine Pause war zu lang.
Omi67 hat's vollendet.
Mit Grüßen
!
