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ist 0.5=2*cos(alpha)^2-cos(alpha)^3 unlösbar?

 03.09.2018
bearbeitet von Gast  03.09.2018
bearbeitet von asinus  04.09.2018
bearbeitet von asinus  04.09.2018
 #1
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0.5=2*cos(alpha)^2-cos(alpha)^3

 

Hallo Gast!

 

Der Term ist mehrdeutig. Was ist gemeint?

 

A)  \(0,5=2\cdot cos^2 \alpha-cos^3\alpha\)

 

B) \(0,5=2\cdot(cos\ \alpha^2)-(cos\ \alpha^3)\)

 

Mit Hinsicht auf eine reelle Verwendung der Gleichungen in der Technik

ist Gleichung B) unwahrscheinlich. Also:

 

\(0,5=2\cdot cos^2 \alpha-cos^3\alpha\\ cos^3\alpha-2\cdot cos^2\alpha+0,5=0\)      Seitentausch mit Vorzeichenwechsel

 

Zur  Vereinfachung wird substituiert:    \(x=cos\ \alpha\)

Mit x eingesetzt gilt

\(x^3-2x^2+0,5=0\)

Mit Arndt-Brünner

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm

ermittelte Nullstellen:
\(x_1=cos\ \alpha_1=\) -0,45160596295577665

\(x_2=cos\ \alpha_2=\) 0,5969682832373152

\(x_3=cos\ \alpha_3=\)1,8546376797184614 

                       \(x_3\) entfällt, weil \((-1) \leqq cos\ \alpha\leqq(1)\) sein muss.

 

\(\alpha_1{\color{black}=arc\ cos(-0,45160596295577665)}=116,847°\\ \alpha_2{\color{black}=arc\ cos(0,5969682832373152)}=53,347°\)

 

Probe:

\(\alpha_1\)

\(0,5=2\cdot cos^2 \alpha_1-cos^3\alpha_1\\ 0,5=2\cdot (-0,45160596295577665)^2 -(-0,45160596295577665)^3\)

\(0,5= 0,407895891554-(-0,0921041084457)\\ \color{blue}0,5=0,5\)

 

\(\alpha_2 \)

\(0,5=2\cdot cos^2 \alpha_2-cos^3\alpha_2\\ 0,5=2\cdot (0,5969682832373152)^2-(0,5969682832373152)^3\\ 0,5= 0,712742262382-0,212742262382\\ \color{blue}0,5=0,5\)

 

Die Gleichung wird außerdem erfüllt mit den Winkeln

\(\alpha_{1a}{\color{black}=360°-116,847°}=243,153°\\ \alpha_{2a}{\color{black}=360°-53,347°}=306,653°\)

 

Gruß laugh  !

 05.09.2018
bearbeitet von asinus  05.09.2018
bearbeitet von asinus  05.09.2018

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