unlösbar?

0.5=2*cos(alpha)^2-cos(alpha)^3

Hallo Gast!

Der Term ist mehrdeutig. Was ist gemeint?

A)  $0,5=2\cdot cos^2 \alpha-cos^3\alpha$

B) $0,5=2\cdot(cos\ \alpha^2)-(cos\ \alpha^3)$

Mit Hinsicht auf eine reelle Verwendung der Gleichungen in der Technik

ist Gleichung B) unwahrscheinlich. Also:

$0,5=2\cdot cos^2 \alpha-cos^3\alpha\\ cos^3\alpha-2\cdot cos^2\alpha+0,5=0$      Seitentausch mit Vorzeichenwechsel

Zur  Vereinfachung wird substituiert:    $x=cos\ \alpha$

Mit x eingesetzt gilt

$x^3-2x^2+0,5=0$

Mit Arndt-Brünner

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm

ermittelte Nullstellen:
$x_1=cos\ \alpha_1=$ -0,45160596295577665

$x_2=cos\ \alpha_2=$ 0,5969682832373152

$x_3=cos\ \alpha_3=$1,8546376797184614 

                       $x_3$ entfällt, weil $(-1) \leqq cos\ \alpha\leqq(1)$ sein muss.

$\alpha_1{\color{black}=arc\ cos(-0,45160596295577665)}=116,847°\\ \alpha_2{\color{black}=arc\ cos(0,5969682832373152)}=53,347°$

Probe:

$\alpha_1$

$0,5=2\cdot cos^2 \alpha_1-cos^3\alpha_1\\ 0,5=2\cdot (-0,45160596295577665)^2 -(-0,45160596295577665)^3$

$0,5= 0,407895891554-(-0,0921041084457)\\ \color{blue}0,5=0,5$

$\alpha_2$

$0,5=2\cdot cos^2 \alpha_2-cos^3\alpha_2\\ 0,5=2\cdot (0,5969682832373152)^2-(0,5969682832373152)^3\\ 0,5= 0,712742262382-0,212742262382\\ \color{blue}0,5=0,5$

Die Gleichung wird außerdem erfüllt mit den Winkeln

$\alpha_{1a}{\color{black}=360°-116,847°}=243,153°\\ \alpha_{2a}{\color{black}=360°-53,347°}=306,653°$

Gruß   !