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\(\Large h=\frac{ \frac{2t}{c}+\frac{2}{g}-\sqrt{(\frac{2t}{c}+\frac{2}{g})^2-4\cdot \frac{1}{c^2}\cdot t^2}}{2\cdot \frac{1}{c^2}}\)

 

Bitte die Gleichung  so weit als möglich vereinfachen.

 

Gruß  laugh  !

 08.08.2018
bearbeitet von asinus  08.08.2018
bearbeitet von asinus  17.08.2018

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 #1
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Bitte die Gleichung ist so weit als möglich vereinfachen.

 

\(\Large h=\dfrac{ \dfrac{2t}{c}+\dfrac{2}{g}-\sqrt{\left(\dfrac{2t}{c}+\dfrac{2}{g} \right)^2-4\cdot \dfrac{1}{c^2}\cdot t^2}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}}\)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline h &=& \dfrac{ \dfrac{2t}{c}+\dfrac{2}{g}-\sqrt{\left(\dfrac{2t}{c}+\dfrac{2}{g} \right)^2-4\cdot \dfrac{1}{c^2}\cdot t^2}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot \left( \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} \right) -\sqrt{\left(2\cdot \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right) \right)^2-4\cdot \dfrac{1}{c^2}\cdot t^2}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot \left( \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} \right) -\sqrt{4\cdot \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-4\cdot \dfrac{t^2}{c^2}}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot \left( \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} \right) -2\cdot \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& \dfrac{ \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} - \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}}}{\dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& c^2 \cdot \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} - \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}} \right) \\\\ &=& c \cdot \left[ c \cdot \left( \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} - \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}} \right) \right] \\\\ &=& c \cdot \left( \dfrac{ct}{c}+\dfrac{c}{g} - c\cdot \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}} \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{c^2\cdot\left[ \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2} \right] } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ c^2\cdot \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{c^2t^2}{c^2} } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ c^2\cdot \left(\dfrac{tg+c}{cg}\right)^2-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ c^2\cdot \dfrac{\left(tg+c\right)^2}{c^2g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{\left(tg+c\right)^2}{g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{t^2g^2+2tgc+c^2}{g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{\dfrac{t^2g^2}{g^2} + \dfrac{2tgc}{g^2} + \dfrac{c^2}{g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ t^2 + \dfrac{2tc}{g} + \dfrac{c^2}{g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{2tc}{g} + \dfrac{c^2}{g^2} } \right) \\\\ \mathbf{h} & \mathbf{=} & \mathbf{ c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{c}{g} \left( 2t + \dfrac{c}{g} \right) } \right) } \\\\ \hline \end{array}\)

 

\(\ldots\) man könnte noch weiter vereinfachen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline h & = & c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{c}{g} \left( 2t + \dfrac{c}{g} \right) } \right) \\\\ & = & c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{c}{g} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \\\\ & = & c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \left(\dfrac{c}{g} \right)^{\dfrac{1}{2} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \\\\ & = & c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \left(\dfrac{c}{g} \right)^{-\dfrac{1}{2} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \right) \\\\ & = & c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \left(\dfrac{g}{c} \right)^{\dfrac{1}{2} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \right] \\\\ & = & c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \sqrt{ \dfrac{g}{c} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \right] \\\\ & = & c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \sqrt{ \dfrac{g}{c} \left( 2t + \dfrac{c}{g} \right) } \right) \right] \\\\ & = & c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \sqrt{ \dfrac{2gt}{c} + \dfrac{gc}{gc} } \right) \right] \\\\ \mathbf{h} & \mathbf{=} & \mathbf{ c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \sqrt{ 1+ \dfrac{g}{c}\cdot 2t } \right) \right] } \\\\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 08.08.2018
bearbeitet von heureka  08.08.2018
 #1
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Bitte die Gleichung ist so weit als möglich vereinfachen.

 

\(\Large h=\dfrac{ \dfrac{2t}{c}+\dfrac{2}{g}-\sqrt{\left(\dfrac{2t}{c}+\dfrac{2}{g} \right)^2-4\cdot \dfrac{1}{c^2}\cdot t^2}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}}\)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline h &=& \dfrac{ \dfrac{2t}{c}+\dfrac{2}{g}-\sqrt{\left(\dfrac{2t}{c}+\dfrac{2}{g} \right)^2-4\cdot \dfrac{1}{c^2}\cdot t^2}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot \left( \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} \right) -\sqrt{\left(2\cdot \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right) \right)^2-4\cdot \dfrac{1}{c^2}\cdot t^2}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot \left( \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} \right) -\sqrt{4\cdot \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-4\cdot \dfrac{t^2}{c^2}}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& \dfrac{ 2\cdot \left( \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} \right) -2\cdot \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}}}{2\cdot \dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& \dfrac{ \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} - \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}}}{\dfrac{1}{c^2}} \\\\ &=& c^2 \cdot \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} - \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}} \right) \\\\ &=& c \cdot \left[ c \cdot \left( \dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g} - \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}} \right) \right] \\\\ &=& c \cdot \left( \dfrac{ct}{c}+\dfrac{c}{g} - c\cdot \sqrt{\left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2}} \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{c^2\cdot\left[ \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{t^2}{c^2} \right] } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ c^2\cdot \left(\dfrac{t}{c}+\dfrac{1}{g}\right)^2-\dfrac{c^2t^2}{c^2} } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ c^2\cdot \left(\dfrac{tg+c}{cg}\right)^2-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ c^2\cdot \dfrac{\left(tg+c\right)^2}{c^2g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{\left(tg+c\right)^2}{g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{t^2g^2+2tgc+c^2}{g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{\dfrac{t^2g^2}{g^2} + \dfrac{2tgc}{g^2} + \dfrac{c^2}{g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ t^2 + \dfrac{2tc}{g} + \dfrac{c^2}{g^2}-t^2 } \right) \\\\ &=& c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{2tc}{g} + \dfrac{c^2}{g^2} } \right) \\\\ \mathbf{h} & \mathbf{=} & \mathbf{ c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{c}{g} \left( 2t + \dfrac{c}{g} \right) } \right) } \\\\ \hline \end{array}\)

 

\(\ldots\) man könnte noch weiter vereinfachen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline h & = & c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{c}{g} \left( 2t + \dfrac{c}{g} \right) } \right) \\\\ & = & c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{c}{g} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \\\\ & = & c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \left(\dfrac{c}{g} \right)^{\dfrac{1}{2} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \\\\ & = & c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \left(\dfrac{c}{g} \right)^{-\dfrac{1}{2} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \right) \\\\ & = & c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \left(\dfrac{g}{c} \right)^{\dfrac{1}{2} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \right] \\\\ & = & c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \sqrt{ \dfrac{g}{c} } \sqrt{ 2t + \dfrac{c}{g} } \right) \right] \\\\ & = & c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \sqrt{ \dfrac{g}{c} \left( 2t + \dfrac{c}{g} \right) } \right) \right] \\\\ & = & c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \sqrt{ \dfrac{2gt}{c} + \dfrac{gc}{gc} } \right) \right] \\\\ \mathbf{h} & \mathbf{=} & \mathbf{ c \cdot \left[ t +\dfrac{c}{g}\cdot \left(1 - \sqrt{ 1+ \dfrac{g}{c}\cdot 2t } \right) \right] } \\\\ \hline \end{array}\)

 

laugh

heureka 08.08.2018
bearbeitet von heureka  08.08.2018
 #2
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Hallo heureka,

genial gemacht ist das. Danke!

 

Die Funktionsgleichung f(t) = h mit den Konstanten c und g heißt

\(h= c \cdot \left( t +\dfrac{c}{g} - \sqrt{ \dfrac{c}{g} \left( 2t + \dfrac{c}{g} \right) } \right) \)

 

Ich mache daraus eine zugeschnittene Größengleichung, indem ich c und g in die Gleichung einbringe.

 

\( Schallgeschwindigkeit\ bei\ 0°C\)             \(c=331,5\frac{m}{s}\)

\(Erdbeschleunigung\)                                   \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\)

 

\(h= 331,5 \cdot \left( t +33,7920489297 - \sqrt{ 33,7920489297 \cdot\left( 2t + 33,7920489297 \right) }\ \right) \)

 

Als Beispiel sei \(t=6,52s\) eingebracht.

\(h= 331,5 \cdot \left( 6,52 +33,7920489297 - \sqrt{ 33,7920489297 \cdot\left( 2\cdot 6,52 + 33,7920489297 \right) }\ \right) \)

\(h=175,947\ (m)\)

Hurra!  laugh   !

 08.08.2018
bearbeitet von asinus  08.08.2018
 #3
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Vielen Dank,

asinus

 

laugh

heureka  09.08.2018

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