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Nochmals Danke! Ich habe jetzt ein Benutzerhandbuch. Damit geht es ganz ordentlich. Gruß   !

Liebe Omi67,

bitte erkläre  uns den Schritt von

$f(x)=x^5-tx^3$

zu

$f(\ \sqrt{\frac{3}{5}t} )=(\ \sqrt{\frac{3}{5}t}\ )^5-t\cdot (\ \sqrt{\frac{3}{5}t}\ )^3$ .

LG

  ?

Oh, entschuldigt bitte!

Jetzt bin ich selbst drauf gekommen, dass $\sqrt{\frac{3}{5}t}$ der vorher errechnete Abszissenwert eines Extrems der genannten Funktion ist. Es war ein bisschen spät gestern abend.

Hier kommt der ausführliche Lösungsweg. Das Lösungsbuch hat recht.

Super Omi67

  !

                                           Royal Albert Bridge

Zur Veranschaulichung gedacht.

Näherungsweise folgende Funktionsgleichungen:

f( x)=  -0,002xhoch2+ 25         g( x)= 0,0036xhoch2

a. Geben SIe die beiden Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktform an.

b. Der Brückenbogen von f verläuft durch den Punkt {10|24,8}. Weisen Sie nach, dass der Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion f{x} liegt.

c. An der Stelle x = 40 muss eine Stützstrebe erneuert werden. Berechnen Sie die Mindestlänge der benötigten Stützstrebe

d. Berechnen Sie die Mindestlänge eines Brückenspfeilers oberhalb der Fahrbahn.

e. Bestimmen Sie die Länge zwischen den beiden Brückenpfeilern.

Hallo Gast!

a)

$f(x)=-0,002x^2+25\\ S(d|e)\\ S(0|25)\\ a=-0,002\\ d=0\\ e=25$

Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e\\ \color{blue}f(x)=-0,002(x-0)^2+25$   

$g(x)=0,0036x^2\\ S(d|e)\\ S(0|0)\\ a=-0,0036\\ d=0\\ e=0$            

Scheitelpunktform $g(x)=a(x-d)^2+e\\ \color{blue}g(x)=-0,0036(x-0)^2+0$  

b)

f(x)=y=-0,002x^2+25

P(10|24,8)

$f(x)=y=-0,002x^2+25\\ y=24,8\\ x=10\\ 24,8=-0,002\cdot 10^2+25\\ 24,8=24,8\\ \color{blue} q.e.d.$

Der Punkt P(10 | 24,8) liegt auf dem Graphen von f(x).

c)

$L=f(x=40)-g(x=40)\\ L= (-0,002\cdot 40^2+25)-(0,0036\cdot 40^2)\\ \color{blue} L=16,04$

Die benötigte Stützstrebe muss mindestens16,04m lang sein.

d)

$f(x)=g(x)\\ -0,002x^2+25=0,0036x^2\\ (0,0036+0,002)x^2=25\\ x=\sqrt{\frac{25}{0,0056}}\\ \color{blue}x=66,81531$

$L=g(66,81531)=0,0036\cdot 66,81531^2\\ \color{blue}L=16,071\{m\}$

Die Mindestlänge eines Brückenpfeilers ist 16,071 m.

e)

Aus d) ergibt sich die halbe Länge zwischen den Brückenpfeilern mit

$x=66,81531$ . Das verdoppelt ergibt

die Länge zwischen den Brückenpfeilern ist = 133,631m.

Gruß

  !

Falls du noch weitere Fragen hast, bitte melden...

Hallo Gast,

vielen Dank für die Tips zu einem Zwischenspeicher. Du hast mir sehr geholfen!

Herzlichen Gruß von

  !

Hallo asinus

aus meinem Studium habe ich das noch so in Erinnerung:

1. Zu speichernde Zahl steht im Stack (Ebene 1)

2. Taste VAR drücken (für Variablen)

3. Taste ` drücken (die Taste unter MTH)

4. Auf dem Bildschirm erscheinen zwei Anführungszeichen, zwischen diesen kannst du den Namen der Variable eingeben

- Zur Eingabe eines Buchstabens immer die Alpha – Taste zuerst drücken.

- Zur Eingabe mehrere Buchstaben hintereinander kannst du zweimal die Alpha Taste betätigen und der HP48 bleibt im Schreibmodus. Den Schreibmodus beendest du mit nochmaligem drücken der Alpha Taste.

5. Die Taste STO (für storage) drücken.

6. Die gespeicherte Variable erscheint jetzt über einer deiner Funktionstasten. Sollten da schon mehrere Variablen sein, kannst du mit NXT ( für next) blättern.

b)

(-2x) * (4-3x^2)^-2 dx Grenzen 1 und -1 durch Substitution.

Integral

$\displaystyle \int \limits_{-1}^{1} \dfrac{-2x}{ (4-3x^2)^2 } \ dx = \ ?$

$\begin{array}{|lrcl|} \hline \displaystyle \int \limits_{-1}^{1} \dfrac{-2x}{ (4-3x^2)^2 } \ dx = \ ? \\ & \text{Substitution:}\\ & \mathbf{z} &\mathbf{=}& \mathbf{ 4-3x^2 } \\ & dz &=& -6x \ dx \\ & \mathbf{dx} &\mathbf{=}& \mathbf{-\dfrac{1} { 6x } \ dz} \\ \hline \end{array}$

Stammfunktion:

$\begin{array}{|lcl|} \hline \displaystyle \int \dfrac{-2x}{ (4-3x^2)^2 } \ dx \\\\ &=& \displaystyle \int \left( \dfrac{-2x}{ z^2 }\right) \cdot \left(-\dfrac{1} { 6x } \right) \ dz \\\\ &=& \displaystyle \dfrac13\cdot \int \dfrac{1}{ z^2 } \ dz \\\\ &=& \displaystyle \dfrac13\cdot \int z^{-2} \ dz \\\\ &=& \displaystyle \dfrac13\cdot\left( \dfrac{z^{-2+1} }{-2+1} \right) +c \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac13\cdot z^{-1} +c \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac{1}{3z} +c \\\\ & \text{Rücksubstitution:} \\ &=& \displaystyle -\dfrac{1}{3(4-3x^2)} +c \\\\ \hline \mathbf{\displaystyle \int \limits_{-1}^{1} \dfrac{-2x}{ (4-3x^2)^2 } \ dx} \\ &=& \displaystyle -\dfrac13 \cdot \left[ \dfrac{1}{4-3x^2} \right]_{-1}^{1} \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac13 \cdot \left[ \dfrac{1}{4-3\cdot 1^2} - \dfrac{1}{4-3\cdot (-1)^2} \right] \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac13 \cdot \left[ \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{1} \right] \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac13 \cdot \left[ 1 - 1 \right] \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac13 \cdot 0 \\\\ &=& \displaystyle 0 \\\\ \mathbf{\displaystyle \int \limits_{-1}^{1} \dfrac{-2x}{ (4-3x^2)^2 } \ dx} &\mathbf{=}& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}$

c)
x*sin(x^2)dx    Grenzen: 1 und 0 durch Substitution.

Integral

$\displaystyle \int \limits_{0}^{1} x*\sin(x^2) \ dx = \ ?$

$\begin{array}{|lrcl|} \hline \displaystyle \int \limits_{0}^{1} x*\sin(x^2) \ dx = \ ? \\ & \text{Substitution:}\\ & \mathbf{z} &\mathbf{=}& \mathbf{x^2 } \\ & dz &=& 2x \ dx \\ & \mathbf{dx} &\mathbf{=}& \mathbf{\dfrac{1} { 2x } \ dz} \\ \hline \end{array}$

Stammfunktion:

$\begin{array}{|lcl|} \hline \displaystyle \int x*\sin(x^2) \ dx \\\\ &=& \displaystyle \int x*\sin(z) \dfrac{1} { 2x } \ dz \\\\ &=& \displaystyle \dfrac12 \cdot \int \sin(z) \ dz \\\\ &=& \displaystyle \dfrac12 \cdot \left(- \cos(z) \right) +c \\\\ & \text{Rücksubstitution:} \\ &=& \displaystyle \dfrac12 \cdot \left(- \cos(x^2) \right) +c \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac12 \cdot \left( \cos(x^2) \right) +c \\\\ \hline \mathbf{\displaystyle \int \limits_{-1}^{1} x*\sin(x^2) \ dx} \\ &=& \displaystyle -\dfrac12 \cdot \left[ \cos(x^2) \right]_{0}^{1} \quad |\quad x \text{ in radiant} \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac12 \cdot \left[ \cos(1^2)-\cos(0^2) \right] \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac12 \cdot \left( \cos(1)-\cos(0) \right) \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac12 \cdot \left( 0.54030230587-1 \right) \\\\ &=& \displaystyle -\dfrac12 \cdot \left( -0.45969769413 \right) \\\\ &=& \displaystyle \dfrac12 \cdot \left( 0.45969769413 \right) \\\\ \mathbf{\displaystyle \int \limits_{-1}^{1} x*\sin(x^2) \ dx} &\mathbf{=}& \mathbf{\displaystyle 0.22984884707} \\ \hline \end{array}$

a)

(4x) * (1+2x^2)^-0,5 dx Grenzen 2 und 0 durch Substitution.

Integral

$\displaystyle \int \limits_0^{2}\dfrac{4x}{\sqrt{1+2x^2}}\ dx = \ ?$

$\begin{array}{|lrcl|} \hline \displaystyle \int \limits_0^{2}\dfrac{4x}{\sqrt{1+2x^2}}\ dx =\ ? \\\\ & \text{Substitution:}\\ & \mathbf{z = \sqrt{1+2x^2}} &=& (1+2x^2)^{\frac12} \\ & dz &=& \frac12 \cdot (1+2x^2)^{\frac12 - 1} \cdot 2\cdot 2x \ dx \\ & dz &=& 2x \cdot (1+2x^2)^{-\frac12} \ dx \\ & dz &=& \dfrac{ 2x } { \sqrt{1+2x^2} } \ dx \\ & \mathbf{dx} &\mathbf{=}& \mathbf{\dfrac{ \sqrt{1+2x^2} } { 2x } \ dz} \\\\ & \text{Neue Grenzen:}\\ & x&=&0 \quad \Rightarrow \quad z = \sqrt{1+2\cdot 0^2} = 1 \\ & x&=&2 \quad \Rightarrow \quad z = \sqrt{1+2\cdot 2^2} = 3 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rcl|} \hline \displaystyle \mathbf{\int \limits_0^{2} \dfrac{4x}{\sqrt{1+2x^2}}\ dx } \\\\ &=& \displaystyle \int \limits_{z=1}^{z=3}\dfrac{4x}{\sqrt{1+2x^2}}\cdot \dfrac{ \sqrt{1+2x^2} } { 2x } \ dz \\\\ &=& \displaystyle \int \limits_{z=1}^{z=3} 2 \ dz \\\\ &=& \displaystyle 2\int \limits_{z=1}^{z=3} \ dz \\\\ &=& \displaystyle 2[z]_{z=1}^{z=3} \\\\ &=& \displaystyle 2[3-1] \\\\ &=& \displaystyle 2\cdot 2 \\\\ \mathbf{\displaystyle \int \limits_0^{2}\dfrac{4x}{\sqrt{1+2x^2}}\ dx }& \mathbf{=} & \mathbf{4} \\ \hline \end{array}$

Hallo Gast!

Bravo! Bitte zeige uns, wie du dabei vorgehst und was rauskommt 

(Aufgabe 2).

Ich würde mich sehr freuen, wenn du als Mitglied ins Forum eintrittst. Du kannst dann im Nachrichtenzentrum mit den anderen Teilnehmern Gedanken zu Sachthemen austauschen, neue Fragen stellen und auf Fragen anderer antworten. Du bekommst ein Avatar und kannst auch anonym bleiben. Überlege es dir mal.

LG

  !

das Verhältnis bekomme ich selber hin, danke nochmal für alles. 

Hallo, Guten Morgen!

Ich habe jetzt deine Originalgleichung

x+ (0,1x^2) / (x^2+10^-6,35x+10-16,68) = 10^-14/x + (10^-17,68) / (x^2+10^-6,35x+10^-16,68)

mit arndt-bruenner

Hallo Gast,

ich habe geahnt, dass es sich um Ionen und pH-Werte handelt. Weil du genaueste Ergebnisse brauchst, übermittle ich dir eine Aufstellung von Funktionswerten um Null. (e-13 $bedeutet \times 10^{-13}$)

Die Gleichung heißt

f(x)=x^4-0,00000446684*x^3+9,9791070369*10^(-15)*x^2

               +4,46683592151*10^(-21)*x+2,08929613085*10^(-18)=0

x = -0,0009524787544985002
f1(x) = -8,191785558787447e-13

x = -0,0006353592344622189
f1(x) = -1,6181087743481696e-13

x = -0,00031824939912443266
f1(x) = -1,0112110638313486e-14

x = 0,00031602330807969914
f1(x) = -1,0113052742448911e-14

x = 0,0006331331580460794
f1(x) = -1,6181838600222601e-13

Hoffentlich kannst du etwas damit anfangen.

Wie ersichtlich, kann kein Wert, der die Gleichung exakt erfüllt,  gefunden werden. Die Funktionswerte sind stets negativ.

Über Aufgabe 2) denke ich nach. Ich muss eine Verhältnisgleichung von a zu b finden. Für x setze ich dann den x-Wert, dessen Funktionswert der Null am nächsten kommt, ein.

Grüße

  !

Tatsächlich gibt es eine Anwendung .

Undzwar handelt es sich hierbei um einen Teil der Herleitung der genauen pH-Berechnung des Hydrogencarbonat-Ions. Während ich die chemischen Gedankengänge recht gut beherrsche, lassen mich meine Mathematik-Kompetenzen bei derartigen Gleichungen im Stich. Daher bin ich sehr froh, hier auf solch eine Hilfsbereitschaft zählen zu können.  

Gruß

ja ^ vergessen, mein fehler

doch beim linken bruch sollte das x + kein teil des bruchs sein. also x + ((") / (")). Oder kann man das x trotzdem einfach in den zähler schreiben?

Du hast recht, das x gehört vor den Bruchstrich. Sorry! Gruß asinus.

                                                   ^ vergessen?

x+ (0,1x^2) / (x^2+10^-6,35x+10^-16,68)

= 10^-14/x + (10^-17,68) / (x^2+10^-6,35x+10^-16,68)

Hallo Gast!

Aufgabe 1)

Wie löst man diese Gleichung nach x auf?

$\Large x+\frac{0,1x^2}{x^2+10^{-6,35}x+10^{-16,68}} =\frac{10^{-14}}{x}+\frac{10^{-17,68}}{x^2+10^{-6,35}x+10^{-16,68}}$ 

$\Large \frac{0,1x^2-10^{-17,68}}{x^2+10^{-6,35}x+10^{-16,68}}=\frac{10^{-14}}{x}-x$

$\Large \frac{0,1x^2-10^{-17,68}}{x^2+10^{-6,35}x+10^{-16,68}}=\frac{10^{-14}-x^2}{x}$

$x\cdot (0,1x^2-10^{-17,68})=(10^{-14}-x^2)\cdot (x^2+10^{-6,35}x+10^{-16,68})$

$0,1x^3-10^{-17,68}x$

$=10^{-14}x^2+10^{-14}\cdot10^{-6,35}x+10^{-14}\cdot 10^{-16,68}\\ -x^4-10^{-6,35}x^3-10^{-16,68}x^2$

$0=10^{-14}x^2+10^{-14}\cdot10^{-6,35}x+10^{-14}\cdot 10^{-16,68}\\ -x^4-10^{-6,35}x^3-10^{-16,68}x^2-0,1x^3+10^{-17,68}$

$-x^4-(10^{-6,35}+10^{-1})x^3+(10^{-14}-10^{-16,68})x^2\\ +10^{-20,35}x+10^{-30,68}+10^{-17,68}=0$

$-x^4-0,00000446684x^3+9,97910703869\cdot10^{-15}x^2\\ +4,46683592151\cdot 10^{-21}x+2,08929613085\cdot 10^{-18}=0$

-x^4-0,00000446684*x^3+9,9791070369*10^(-15)*x^2

+4,46683592151*10^(-21)*x+2,08929613085*10^(-18)=0

Die Nullstellen liegen zwischen -0,3 bis 0,3. Sie waren für mich auch mit arndt-bruenner nicht korrekt zu ermitteln, weil die Funktionswerte in diesem Abszissenbereich extrem klein sind.

Frage an den Verfasser: Gibt es für diese Gleichung eine praktische Anwendung?

Gruß

  !

a= (x*(y-z-v)) / z  und b= (x*v) / (y-z-v)

Wie werden aus diesen zwei Gleichungen

z= (y*x^2) / (x^2+x*a+a*b)

v= (y*a*b) / (x^2+x*a+a*b)

bisher kann ich allen Schritten folgen =)

danke so weit

Zwei Gleichungen:

 $a=\frac{x(v-z-v)}{z}$    und   $b=\frac{xv}{y-z-v}$

Wie werden aus diesen die zwei Gleichungen

$z=\frac{yx^2}{x^2+ax+ab}$

$v=\frac{yab}{x^2+ax+ab}$

Wie wurde hier umgeformt?

Hallo Gast,

die ungewöhnlichen Variablennamen haben mich etwas irritiert.

Zum Problem:

$a=\frac{x(y-z-v)}{z}\\ $  

$(y-z-v)=\frac{az}{x}$            

$v=y-z-\frac{az}x{}$                 

$b(y-z-v)=vx\\ by-bz-bv=vx\\ vx+bv=by-bz\\ v(x+b)=b(y-z)$           

$v= \frac{b(y-z)}{x+b}$

Die v= Terme gleichsetzen:

${\color{blue}y-z-\frac{az}{x}=\frac{b(y-z)}{x+b}}\\ y(x+b)-z(x+b)-z\cdot \frac{a(x+b)}{x}=by-bz\\ bz-z(x+b)-z\cdot \frac{a(x+b)}{x}=by-y(x+b)\\ z(b-(x+b)- \frac{a(x+b)}{x})=by-y(x+b)\\ z= \frac {by-y(x+b)}{(b-(x+b)- \frac{a(x+b)}{x})}$

$z=\frac{by-xy-by}{\frac{bx-x^2-bx-ax-ab}{x}}$

$z=\frac{x(by-xy-by)}{bx-x^2-bx-ax-ab}$

$\large z=\frac{yx^2}{x^2+ax+ab}$ 

Die v - Herleitung liefere ich später. Es ist viel zu tippen!

Gruß

  !

meine Frage diesbezüglich ist aber auf der mathematischen Ebene. Wenn man Ks1=a, Ks2=b, c0=y, [H2A+]=z, [H+]=x und [A-]=v als unterschiedliche Variablen ansieht. Wie kommt man auf diese umstellung der Formel.

also 

a= (x*(y-z-v)) / z  und b= (x*v) / (y-z-v)

wie werden aus diesen zwei Gleichungen

z= (y*x^2) / (x^2+x*a+a*b)

v= (y*a*b) / (x^2+x*a+a*b)

meine Frage ist: wie wurde hier umgeformt? in welchen Schritten?

Gruß :-)

Hallo,

hierbei kann ich leider nicht helfen. Handelt es sich dabei um Ionenverteilung in Lösungen?

Damit kenne ich mich absolut nicht aus. Schade !

Gruß   !

Hallo und danke für die schnelle Antwort. Könnten Sie mir eventuell noch einmal erklären mit welcher Rechnung man in dem angehängten Bild von den zwei Ursprungsgleichungen zu den zwei Zielgleichungen gelangen konnte? Vielen vielen Dank