Gegeben: PA mit PA(x) = 0,1x2+0,4x+1,4
PN mit PN(x) = 0,05x2-x+4
a) Berechnen von Marktgleichgewicht (G) und Umsatz (UG) im Marktgleichgewicht
Lösung: G (1,748|2,405) und UG=4,20394
Das Marktgleichgewicht \((x_G|y_G)\) ist der Schnittpunkt aus \(P_A(x) ~ \text{ und } ~ P_N(x)\)
\(\begin{array}{rcll} y_G = P_A(x_G) &=& P_N(x_G) \\ 0.1\cdot x_G^2 + 0.4\cdot x_G + 1.4 &=& 0.05\cdot x_G^2 - x_G + 4 \\ 0.1\cdot x_G^2 - 0.05\cdot x_G^2+ 0.4\cdot x_G+ x_G + 1.4 - 4&=& 0 \\ 0.05\cdot x_G^2+ 1.4\cdot x_G+ -2.6&=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 20\\ 1\cdot x_G^2+ 28\cdot x_G+ -52&=& 0 \\ x_G^2+ 28\cdot x_G -52&=& 0 \end{array}\)
\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)
\(\begin{array}{rcll} x_G^2+ 28\cdot x_G -52&=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = 28 \qquad c = -52\\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{28^2-4\cdot 1\cdot (-52)} }{ 2\cdot 1} \\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{784+208} }{ 2} \\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{992} }{ 2} \\ x_G &=& \frac{ -28 + 31.4960314960 }{ 2} \qquad & | \qquad x_G > 0 ~!\\ x_G &=& 1.74801574802 \\\\ \end{array} \)
\(\begin{array}{rcll} y_G &=& 0.1\cdot x_G^2 + 0.4\cdot x_G + 1.4 \\ y_G &=& 0.1\cdot 1.74801574802^2 + 0.4\cdot 1.74801574802 + 1.4 \\ y_G &=& 2.40476220474 \\ \end{array}\)
Marktgleichgewicht G( 1.74801574802 | 2.40476220474 )
\(\begin{array}{rcll} \text{Umsatz }~(U_G) &=& x_G \cdot y_G \\ U_G &=& 1.74801574802 \cdot 2.40476220474 \\ U_G &=& 4.20356220414 \\ \end{array}\)
b) Berechnen von Sättigungsmenge (xS), Höchstpreis (PH) und Mindestangebotspreis (PM)
Lösung: xS=5,528 ; PH= 4 ; PM=1,4
\(\begin{array}{rcll} \text{Höchstpreis }~(P_H) &=& P_N(0)\\ P_N(0) &=& 0.05\cdot 0^2 - 0 + 4 \\ P_N(0) &=& 4 \\ P_H &=& 4 \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{rcll} \text{Mindestangebotspreis }~(P_M) &=& P_A(0)\\ P_A(0) &=& 0.1\cdot 0^2 + 0.4\cdot 0 + 1.4 \\ P_A(0) &=& 1.4 \\ P_M &=& 1.4 \\ \end{array}\)
Sättigungsmenge \((x_S)\)
\(\begin{array}{rcll} P_N(x_s) &=& 0 \\ 0.05\cdot x_s^2 - x_s + 4 &=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 20 \\ 1\cdot x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \\ x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \\ \end{array}\)
\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)
\(\begin{array}{rcll} x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = -20 \qquad c = 80\\ x_s &=& \frac{ -(-20) \pm \sqrt{(-20)^2-4\cdot 1\cdot 80} }{ 2\cdot 1} \\ x_s &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{400-320} } { 2} \\ x_s &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{80} } { 2} \\ x_s &=& \frac{ 20 -8.94427191000 } { 2} \\ x_s &=& 5.52786404500 \\ \end{array}\)
c) ist für mich zu fachlich. Deine Antwort sieht aber logisch richtig aus.
!
