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Hallo Rechenexperten, wie kann man folgende Aufgabe lösen:

Unten, an einer Wand, liegt ein Würfel mit 1m Kantenlänge.

Nun soll eine 10m lange Leiter so an die Wand gestellt werden, dass sie gerade an der Würfelkante vorbeigeht, also die max. Höhe erreicht wird.

Wie weit ist das Fussteil der Leiter dann von der Wand entfernt?

Kann jemand helfen?!

 01.02.2016

Beste Antwort 

 #6
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+5

Unten, an einer Wand, liegt ein Würfel mit 1m Kantenlänge.

Nun soll eine 10m lange Leiter so an die Wand gestellt werden, dass sie gerade an der Würfelkante vorbeigeht, also die max. Höhe erreicht wird.

Wie weit ist das Fussteil der Leiter dann von der Wand entfernt?

 

Wir definieren:

\(\small{ \begin{array}{rcll} a &=& \text{ Kantenlänge des Würfels } = 1\ m \\ L &=& \text{ Länge der Leiter } = 10\ m \\ \\ x &=& \text{ Entfernung des Fußteils der Leiter von der Wand } \qquad x\ge a\ ! \\ y &=& \text{ Die Anlegehöhe an der Wand } \\ \end{array} }\)

 

Ich habe meine beiden quadratischen Gleichungen für k und x zusammengefaßt und erhalte:

\(\small{ \begin{array}{lrcll} & 2\cdot x_{1,2} &=& a + \sqrt{a^2+L^2} \pm \sqrt{ \left(a- \sqrt{a^2+L^2} \right)^2-(2a)^2 } \\ a=1: & 2\cdot x_{1,2} &=& 1 + \sqrt{1+L^2} \pm \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \\\\ & 2\cdot x_{3,4} &=& a - \sqrt{a^2+L^2} \pm \sqrt{ \left(a+ \sqrt{a^2+L^2} \right)^2-(2a)^2 } \\ a=1: & 2\cdot x_{3,4} &=& 1 - \sqrt{1+L^2} \pm \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \\ \end{array} }\)

 

Für \(a = 1 ~ \text{ und } ~ L=10\) erhalten wir für die vier Lösungen von \(x\):

\(\small{ \begin{array}{rcll} x_1 &=& \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{1+L^2} + \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{101} + \sqrt{ (1-\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 9.93799368936\\ x_2 &=& \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{1+L^2} - \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{101} - \sqrt{ (1-\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 1.11188193176\\ x_3 &=& \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{1+L^2} + \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{101} + \sqrt{ (1+\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 0.90874766162\\ x_4 &=& \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{1+L^2} - \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{101} - \sqrt{ (1+\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = -9.95862328274\\ \end{array} }\)

 

Unsere Bedingung für x lautet aber, x muss größer oder gleich a bzw. 1 sein, somit fallen \(x_3\) und \(x_4\) als Lösungen raus.

 

laugh

 02.02.2016
 #1
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Guten Abend,

ich habe es mal mit dem Strahlensatz versucht, ist aber eine  "blöde Rechnerei"

 

Danach  müsste der Fußpunkt der Leiter von der Wand

 

entweder  1,11188 m  oder  9,938 m betragen.

 

Die Leiter steht demnach  sehr flach    oder sehr  steil !

 

Bitte teile die  richtige  Antwort mit !

 

Gruß radix smiley !

 01.02.2016
 #2
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0

Danke für deine Mühe radix,

leider kenne ich die Antwort auch nicht :-(

 

Vllt. kommt ja noch eine Lösung.

 01.02.2016
 #3
avatar+12511 
0

Ich meine, die Lösung gefunden zu haben. Hoffentlich siehst Du noch mal nach.

http://www.thkoehler.de/midnightblue/m_kdb.htm

 

Den Link zum Rechner findest Du oben.

laugh

 01.02.2016
 #4
avatar+11607 
0

Hallo Gast!

 

Unten, an einer Wand, liegt ein Würfel mit 1m Kantenlänge.

Nun soll eine 10m lange Leiter so an die Wand gestellt werden, dass sie gerade an der Würfelkante vorbeigeht, also die max. Höhe erreicht wird.

Wie weit ist das Fußteil der Leiter dann von der Wand entfernt?

 

Diese Entfernung sei 1m + x. Dann gilt:

 

10 / (1 + x) = √(1 + x²) / x

10x = (1 + x) * √(1 + x²)

100x² = (1 + 2x + x²) * (1 + x²) 

100x² = 1 + 2x + x² + x² + 2x³ + x4

x4 + 2x³ - 98x² + 2x + 1 = 0

 

Die Gleichung hat vier reelle Lösungen

 

x1 = 8,9379937      ⇒    Kleinere Höhe.

x2 = 0,1118819       ⇒    Maximale Höhe.

x3 = - 0,0912523    ⇒    Entfällt. Die Leiter kann nicht dahinter stehen.

x4 = - 10.9586233  ⇒    Entfällt. Die Leiter kann nicht dahinter stehen.

 

Das Fußteil der Leiter ist 1,1118819 m von der Wand entfernt.

 

h = √(10² m - (1m +0,1118819m)²) = 9,938 m

 

Die Anlagehöhe an der Wand ist 9,938 m.

 

Gruß asinus :- )

laugh!

 02.02.2016
 #5
avatar+25911 
+5

Unten, an einer Wand, liegt ein Würfel mit 1m Kantenlänge.

Nun soll eine 10m lange Leiter so an die Wand gestellt werden, dass sie gerade an der Würfelkante vorbeigeht, also die max. Höhe erreicht wird.

Wie weit ist das Fussteil der Leiter dann von der Wand entfernt?

 

Wir definieren:

\(\small{ \begin{array}{rcll} a &=& \text{ Kantenlänge des Würfels } = 1\ m \\ L &=& \text{ Länge der Leiter } = 10\ m \\ \\ x &=& \text{ Entfernung des Fußteils der Leiter von der Wand } \qquad x\ge a\ ! \\ y &=& \text{ Die Anlegehöhe an der Wand } \\ \end{array} }\)

 

I. Strahlensatz:

\(\begin{array}{rcll} \frac{x-a}{a} &=& \frac{x}{y} \qquad & | \qquad \cdot y\\ \frac{y(x-a)}{a} &=& x \qquad & | \qquad \cdot a\\ y(x-a) &=& ax \\ yx-ay &=& ax \qquad & | \qquad +ay\\ yx &=& ax+ay\\ yx &=& a(x+y)\\ \end{array}\)

 

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} xy = a(x+y) = k \qquad \Rightarrow \qquad xy = k \qquad (x+y) = \frac{k}{a}\\ \end{array} ~} \)

 

II. Pythagoras:

\(\begin{array}{rcll} x^2+y^2 &=& L^2 \qquad & | \qquad x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy\\ (x+y)^2 -2xy &=& L^2 \qquad & | \qquad xy = k \qquad (x+y) = \frac{k}{a}\\ (\frac{k}{a})^2 -2k &=& L^2\\ \frac{k^2}{a^2} -2k &=& L^2 \qquad & | \qquad \cdot a^2\\ k^2 -2a^2k &=& a^2L^2 \\ k^2 -2a^2k - a^2L^2 &=& 0\\ \end{array}\)

 

Wir rechnen jetzt k aus:

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} Ak^2+Bk+C &=& 0 \\ k_{1,2} &=& \frac{ -B \pm \sqrt{B^2-4AC} } { 2A} \end{array} ~}\\ \)

\(\begin{array}{rcll} k^2 -2a^2k - a^2L^2 &=& 0\qquad A= 1 \qquad B = -2a^2 \qquad C=-a^2L^2 \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{(-2a^2)^2-4\cdot 1 \cdot (-a^2L^2)} } { 2\cdot 1} \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{4a^4+ 4\cdot a^2L^2 } } { 2 } \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{4a^2(a^2 + L^2) } } { 2 } \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm 2a\cdot \sqrt{a^2+ L^2} } { 2 } \\ k_{1,2} &=& a^2 \pm a\cdot \sqrt{a^2+ L^2} \\ \end{array}\)

 

\(\begin{array}{rcll} a= 1 \qquad L = 10\\ k_{1,2} &=& 1^2 \pm 1\cdot \sqrt{1+ L^2} \\ \mathbf{k_{1,2} }& \mathbf{=} & \mathbf{1 \pm \sqrt{1+ L^2} }\\ k_{1,2} &=& 1^2 \pm 1\cdot \sqrt{1^2+ 10^2} \\ k_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{1+ 10^2} \\ k_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{101} \\\\ k_{1} &=& 1 + \sqrt{101} \\ k_{1} &=& 11.0498756211\\\\ k_{2} &=& 1 - \sqrt{101} \\ k_{2} &=& -9.04987562112 \end{array}\)

 

Wir rechnen jetzt x und y aus:

\(\begin{array}{lrcll} (1)& xy &=& k \\ & y &=& \frac{k}{x} \\\\ (2)& x+y &=& \frac{k}{a} \\ & x+\frac{k}{x} &=& \frac{k}{a} \qquad & | \qquad \cdot x\\ & x^2+ k &=& \frac{k}{a} \cdot x\\ & x^2 - \frac{k}{a}\cdot x + k &=& 0\\ \end{array}\)

 

 

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} Ax^2+Bx+C &=& 0 \\ x_{1,2} &=& \frac{ -B \pm \sqrt{B^2-4AC} } { 2A} \end{array} ~}\)

 

\(\begin{array}{rcll} x^2 - \frac{k}{a}\cdot x + k &=& 0 \qquad A= 1 \qquad B = -\frac{k}{a} \qquad C=k \\ x_{1,2} &=& \frac{ \frac{k}{a} \pm \sqrt{(-\frac{k}{a})^2-4\cdot 1 \cdot k} } { 2\cdot 1} \\ x_{1,2} &=& \frac{ \frac{k}{a} \pm \sqrt{\frac{k^2}{a^2} -4k} } { 2 } \\ \end{array}\)

 

\(\small{ \begin{array}{rcll} a= 1 \qquad k_{1} &=& 11.0498756211 \qquad k_{2} = -9.04987562112 \\ x_{1,2} &=& \frac{ k \pm \sqrt{k^2 -4\cdot k} } { 2 } \\ \mathbf{x_{1}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_1 + \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_1} } { 2 } }\\ x_{1} &=& \frac{ 11.0498756211 + \sqrt{11.0498756211^2 -4\cdot 11.0498756211} } { 2 } \\ x_{1} &=& 9.93799368936 \\\\ \mathbf{x_{2} }&\mathbf{=}&\mathbf{ \frac{ k_1 - \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_1} } { 2 } }\\ x_{2} &=& \frac{ 11.0498756211 - \sqrt{11.0498756211^2 -4\cdot 11.0498756211} } { 2 } \\ x_{2} &=& 1.11188193176\\\\ \mathbf{x_{3}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_2 + \sqrt{k_2^2 -4\cdot k_2} } { 2 } }\\ x_{3} &=& \frac{ -9.04987562112 + \sqrt{(-9.04987562112)^2 -4\cdot (-9.04987562112)} } { 2 } \\ x_{3} &=& 0.90874766162 \qquad \text{ keine Lösung } \qquad x \ge a\ ! \qquad x \ge 1\ !\\\\ \mathbf{x_{4}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_2 - \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_2} } { 2 } }\\ x_{4} &=& \frac{ -9.04987562112- \sqrt{(-9.04987562112)^2 -4\cdot (-9.04987562112)} } { 2 } \\ x_{4} &=& -9.95862328274 \qquad \text{ keine Lösung } \qquad x \ge a\ ! \qquad x \ge 1\ !\\\\ \end{array} }\)


\(\small{ \begin{array}{rcll} y_{1} &=& x_2 = 1.11188193176 \\ y_{2} &=& x_1 = 9.93799368936 \end{array} }\)

 

Es gibt 2 reelle Lösungen.

Lösung 1: ( 9,93799368936 m; 1,11188193176 m )

Lösung 2: ( 1,11188193176 m; 9.93799368936 m )

laugh

 02.02.2016
 #6
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+5
Beste Antwort

Unten, an einer Wand, liegt ein Würfel mit 1m Kantenlänge.

Nun soll eine 10m lange Leiter so an die Wand gestellt werden, dass sie gerade an der Würfelkante vorbeigeht, also die max. Höhe erreicht wird.

Wie weit ist das Fussteil der Leiter dann von der Wand entfernt?

 

Wir definieren:

\(\small{ \begin{array}{rcll} a &=& \text{ Kantenlänge des Würfels } = 1\ m \\ L &=& \text{ Länge der Leiter } = 10\ m \\ \\ x &=& \text{ Entfernung des Fußteils der Leiter von der Wand } \qquad x\ge a\ ! \\ y &=& \text{ Die Anlegehöhe an der Wand } \\ \end{array} }\)

 

Ich habe meine beiden quadratischen Gleichungen für k und x zusammengefaßt und erhalte:

\(\small{ \begin{array}{lrcll} & 2\cdot x_{1,2} &=& a + \sqrt{a^2+L^2} \pm \sqrt{ \left(a- \sqrt{a^2+L^2} \right)^2-(2a)^2 } \\ a=1: & 2\cdot x_{1,2} &=& 1 + \sqrt{1+L^2} \pm \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \\\\ & 2\cdot x_{3,4} &=& a - \sqrt{a^2+L^2} \pm \sqrt{ \left(a+ \sqrt{a^2+L^2} \right)^2-(2a)^2 } \\ a=1: & 2\cdot x_{3,4} &=& 1 - \sqrt{1+L^2} \pm \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \\ \end{array} }\)

 

Für \(a = 1 ~ \text{ und } ~ L=10\) erhalten wir für die vier Lösungen von \(x\):

\(\small{ \begin{array}{rcll} x_1 &=& \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{1+L^2} + \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{101} + \sqrt{ (1-\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 9.93799368936\\ x_2 &=& \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{1+L^2} - \sqrt{ \left(1- \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 + \sqrt{101} - \sqrt{ (1-\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 1.11188193176\\ x_3 &=& \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{1+L^2} + \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{101} + \sqrt{ (1+\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = 0.90874766162\\ x_4 &=& \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{1+L^2} - \sqrt{ \left(1+ \sqrt{1+L^2} \right)^2-4 } \right] = \frac12\cdot \left[ 1 - \sqrt{101} - \sqrt{ (1+\sqrt{101})^2 - 4 }\right] = -9.95862328274\\ \end{array} }\)

 

Unsere Bedingung für x lautet aber, x muss größer oder gleich a bzw. 1 sein, somit fallen \(x_3\) und \(x_4\) als Lösungen raus.

 

laugh

heureka 02.02.2016
 #7
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Heee...Super.

Herzlichen Dank an alle Teilnehmer :-)

 

LG Gast

 02.02.2016
 #8
avatar+25911 
+5

Die 4 Lösungen im Überblick. Schnitt Kreis mit Hyperbel.

 

 

laugh

 04.02.2016
bearbeitet von heureka  04.02.2016
bearbeitet von heureka  04.02.2016

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