Quadratische Funktionen

Gegeben: PA   mit   PA(x) = 0,1x²+0,4x+1,4

                  PN  mit   PN(x) = 0,05x²-x+4

a) Berechnen von Marktgleichgewicht (G) und Umsatz (U_G) im Marktgleichgewicht

    Lösung: G (1,748|2,405) und U_G=4,20394

Das Marktgleichgewicht \((x_G|y_G)\) ist der Schnittpunkt aus \(P_A(x) ~ \text{ und } ~ P_N(x)\)

\(\begin{array}{rcll} y_G = P_A(x_G) &=& P_N(x_G) \\ 0.1\cdot x_G^2 + 0.4\cdot x_G + 1.4 &=& 0.05\cdot x_G^2 - x_G + 4 \\ 0.1\cdot x_G^2 - 0.05\cdot x_G^2+ 0.4\cdot x_G+ x_G + 1.4 - 4&=& 0 \\ 0.05\cdot x_G^2+ 1.4\cdot x_G+ -2.6&=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 20\\ 1\cdot x_G^2+ 28\cdot x_G+ -52&=& 0 \\ x_G^2+ 28\cdot x_G -52&=& 0 \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x_G^2+ 28\cdot x_G -52&=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = 28 \qquad c = -52\\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{28^2-4\cdot 1\cdot (-52)} }{ 2\cdot 1} \\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{784+208} }{ 2} \\ x_G &=& \frac{ -28 \pm \sqrt{992} }{ 2} \\ x_G &=& \frac{ -28 + 31.4960314960 }{ 2} \qquad & | \qquad x_G > 0 ~!\\ x_G &=& 1.74801574802 \\\\ \end{array} \)

\(\begin{array}{rcll} y_G &=& 0.1\cdot x_G^2 + 0.4\cdot x_G + 1.4 \\ y_G &=& 0.1\cdot 1.74801574802^2 + 0.4\cdot 1.74801574802 + 1.4 \\ y_G &=& 2.40476220474 \\ \end{array}\)

Marktgleichgewicht G( 1.74801574802 | 2.40476220474 )

\(\begin{array}{rcll} \text{Umsatz }~(U_G) &=& x_G \cdot y_G \\ U_G &=& 1.74801574802 \cdot 2.40476220474 \\ U_G &=& 4.20356220414 \\ \end{array}\)

b) Berechnen von Sättigungsmenge (x_S), Höchstpreis (P_H) und Mindestangebotspreis (P_M) 

    Lösung: x_S=5,528 ; P_H= 4 ; P_M=1,4

\(\begin{array}{rcll} \text{Höchstpreis }~(P_H) &=& P_N(0)\\ P_N(0) &=& 0.05\cdot 0^2 - 0 + 4 \\ P_N(0) &=& 4 \\ P_H &=& 4 \\ \end{array}\)

\(\begin{array}{rcll} \text{Mindestangebotspreis }~(P_M) &=& P_A(0)\\ P_A(0) &=& 0.1\cdot 0^2 + 0.4\cdot 0 + 1.4 \\ P_A(0) &=& 1.4 \\ P_M &=& 1.4 \\ \end{array}\)

Sättigungsmenge \((x_S)\)

\(\begin{array}{rcll} P_N(x_s) &=& 0 \\ 0.05\cdot x_s^2 - x_s + 4 &=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 20 \\ 1\cdot x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \\ x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \\ \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x_s^2 - 20x_s + 80 &=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = -20 \qquad c = 80\\ x_s &=& \frac{ -(-20) \pm \sqrt{(-20)^2-4\cdot 1\cdot 80} }{ 2\cdot 1} \\ x_s &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{400-320} } { 2} \\ x_s &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{80} } { 2} \\ x_s &=& \frac{ 20 -8.94427191000 } { 2} \\ x_s &=& 5.52786404500 \\ \end{array}\)

c) ist für mich zu fachlich. Deine Antwort sieht aber logisch richtig aus.

d) Welche Situation herrscht bei einem Marktpreis von 2 GE/ME? Wie hoch ist der Umsatz (UG) mit dem Gut?

Situation: Nachfrageüberschuss von NÜ=1,0917 und UG=2,3246 

(Eine Frage: Ich muss, um den Nachfrageüberschuss erst zu bekommen die Angebots- und Nachfragemenge ausrechnen. Wie mache ich das? Ich bin zwar mit dem Taschenrechner au dieses Ergebnis gekommen (Wertetabelle), aber es muss doch einen Rechenweg geben)

Berechnung des Nachfrageüberschusses:

\(\begin{array}{rcl} \text{Preis } &=& 2 \\ \text{Angebotsmenge } &=& x_A \\ \text{Nachfragemenge } &=& x_N \\ \text{Nachfrageüberschuss } &=& N_Ü \\ N_Ü &=& x_N - x_A \\ \end{array}\)

I. Berechnung der Nachfragemenge \(x_N\):

\(\begin{array}{rcll} P_N(x_N) &=& 2 \\ 0.05\cdot x_N^2 - x_N + 4 &=& 2 \qquad & | \qquad -2\\ 0.05\cdot x_N^2 - x_N + 4-2 &=& 0\\ 0.05\cdot x_N^2 - x_N + 2 &=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 20 \\ 1\cdot x_N^2 - 20\cdot x_N + 40 &=& 0 \\ x_N^2 - 20\cdot x_N + 40 &=& 0 \\ \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x_N^2 - 20\cdot x_N + 40 &=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = -20 \qquad c = 40\\ x_N &=& \frac{ -(-20) \pm \sqrt{(-20)^2-4\cdot 1\cdot 40} }{ 2\cdot 1} \\ x_N &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{400-160} } { 2} \\ x_N &=& \frac{ 20 \pm \sqrt{240} } { 2} \\ x_N &=& \frac{ 20 - \sqrt{240} } { 2} \\ x_N &=& \frac{ 20 -15.4919333848 } { 2} \\ x_N &=& 2.25403330759 \\ \end{array}\)

II. Berechnung der Angebotsmenge \(x_A\):

\(\begin{array}{rcl} P_A(x_A) &=& 2 \\ 0.1\cdot x_A^2 + 0.4\cdot x_A + 1.4 &=& 2 \qquad & | \qquad -2\\ 0.1\cdot x_A^2 + 0.4\cdot x_A + 1.4-2 &=& 0\\ 0.1\cdot x_A^2 + 0.4\cdot x_A - 0.6 &=& 0 \qquad & | \qquad \cdot 10 \\ 1\cdot x_A^2 + 4\cdot x_A - 6 &=& 0 \\ x_A^2 + 4\cdot x_A - 6 &=& 0 \\ \end{array}\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c&=&0 \\ x &=& \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a} \end{array} ~}\)

\(\begin{array}{rcll} x_A^2 + 4\cdot x_A - 6 &=& 0 \qquad & |\qquad a = 1 \qquad b = 4 \qquad c = -6\\ x_A &=& \frac{ -4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-6)} }{ 2\cdot 1} \\ x_A &=& \frac{ -4 \pm \sqrt{16+24} }{ 2} \\ x_A &=& \frac{ -4 \pm \sqrt{40} }{ 2} \\ x_A &=& \frac{ -4 + \sqrt{40} }{ 2} \\ x_A &=& \frac{ -4 + 6.32455532034 }{ 2} \\ x_A &=& 1.16227766017 \end{array}\)

\(\begin{array}{rcll} N_Ü &=& x_N - x_A \\ &=& 2.25403330759 - 1.16227766017 \\ &=& 1.09175564742 \\ \end{array}\)

Vielen Dank für die Antwort! Sind die anderen Aufgaben auch richtig? 

DANKESCHÖN! Das ist wirklich sehr nett, dass Sie sich die Zeit genommen haben, mir meine Fragen zu beantworten! Super Portal! Super Leute! :)