+26387 Ursprüngliche Frage in: http://web2.0rechner.de/fragen/fl-chenberechnung-einer-spirale
Hallo Ich möchte einen 150 Meter lange Poolabsorberschlauch16 mm Durchmesser (breite der Klemmen 25mm)spiralförmig auf einer Platte verschrauben.Wegen der Steifheit des schlauches ist der kleinste Durchmesser der Spirale mindestens 25 cm.Wie groß wir die Platte ? Mfg H W Birth
Ich versuche erstmal die Frage zu beantworten, wie groß die Spirale wird.
Ich gehe von einer archimedischen Spirale aus, die den Vorteil hat, das ihre Spiralarme immer gleichen Abstand \(a\cdot 2\pi\) haben. Die Gleichung einer arithmetischen Spirale lautet mathematisch \(r(\varphi) = a\cdot \varphi\), wobei \(\varphi\) der Winkelfortschritt ist und a ein Parameter der Spirale ist, der sich aus dem gegebenen Abstand der Spiralarme(Schläuche) berechnen läßt.
Wir definieren:
\(\small{ s = \text{ Schlauchdurchmesser } = 1.6\ cm \\ k = \text{ Klemmenbreite } = 2.5\ cm \\ D = \text{ Abstand der Schläuche, wie es asinus bereits festgelegt hat } =\frac{k+s}{2} = \frac{2.5+1,6}{2} = 2.05\ cm }\)
\(\begin{array}{rcll} D &=& a\cdot 2\pi\\ a &=& \frac{D}{ 2\pi} = \frac{2.05\ cm}{ 2\pi} = 0.32626763334 \end{array}\)
Der Winkelfortschritt \(\varphi \) beginnt mit \(\varphi_1\),wenn die Spirale den Mindestabstand M erreicht hat.
Wir definieren:
\(\small{ m = \text{ Innenkreisdurchmesser } = 25\ cm \\ s = \text{ Schlauchdurchmesser } = 1.6\ cm \\ M = \text{ Mindestabstand M vom Mittelpunkt,wie es asinus bereits festgelegt hat } =\frac{m+s}{2} = \frac{25+1,6}{2} = 13.3\ cm }\)
\(\begin{array}{rcll} M &=& a\cdot \varphi_1 \\ \varphi_1 &=& \frac{M}{a} = M\cdot \frac{ 2\pi}{D} = 13.3\ cm\cdot \frac{ 2\pi}{2.05\ cm} = 40.7640802856\ rad \end{array}\)
Wir stellen fest, {nl} pro \( 2\pi\) Winkelfortschritt vergrößert sich der Abstand zum Mittelpunkt(\(r(\varphi)\)) um \(2.05\ cm\).
Der Schlauch startet bei einem Winkel von \(\varphi_1 = 40.7640802856\ rad\).
Bis dahin hat sich unsere archimedische Spirale bereits 6.48780487805 mal gedreht
( \(\small{ n_{min} = \frac{ \varphi_1 } {2\pi} = \frac{ 40.7640802856\ rad } {2\pi} = 6.48780487805 }\) )
Nun kommen wir zur Länge der Spirale ( Länge des Schlauches ).
Die Herleitung erspare ich mir an dieser Stelle, doch soviel: {nl} Die Parametergleichung einer archimedischen Spirale lautet: {nl} \(x = a\cdot \varphi \cdot \cos{(\varphi)} \\ y = a\cdot \varphi \cdot \sin{(\varphi)}\\ \dot{x} = a \cdot [ \cos{(\varphi)}- \varphi \cdot \sin{(\varphi)} ]\\ \dot{y} = a \cdot [ \varphi \ cdot \cos{(\varphi)}+\sin{(\varphi)} ]\\ L = \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 }\ d\varphi } L = a\cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { \sqrt{1+(\varphi)^2 }\ d\varphi }\)
Wenn man \(\varphi = \sinh{(z)}\) substituiert, erhält man \( L = a\cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} {\cosh{(z)}^2} \ dz\)
Durch partielle Integration erhält man als Ergebnis \(L = \frac{a}{2} \left[ z+\frac{ \sinh{(2z)} }{2} \right] _{\varphi_1}^{\varphi_2}\)mit \(z = arsinh(\varphi)\)
In der Literatur findet man die Umformung \(L = \frac{a}{2}\left[ \varphi \cdot \sqrt{1+(\varphi)^2 } + \ln{\varphi + \sqrt{1+(\varphi)^2 } } \right]_{\varphi_1}^{\varphi_1}\)
Vorteilhafter ist, für die weitere Berechnung, die kurze Form zu nehmen.
Wir kennen bereits den Winkelfortschritt \(\varphi_1\) am Anfang der Schlauchaufwicklung.
Und wir haben die Schlauchlänge L von 150 m. Wir benötigen also den Winkelfortschritt \(\varphi_2\) am Ende der Spirale(Schlauchaufwicklung).
\(\small{ 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} = z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} - [z_1 + \frac12 \sinh{(2z_1)} ] \qquad z_1 = arsinh(\varphi_1) \quad z_2 = arsinh(\varphi_2) } \)
\(\begin{array}{rcll} z_1 &=& arsinh(\varphi_1) \qquad \varphi_1 = 40.7640802856\ rad\\ z_1 &=& arsinh(40.7640802856) \\ z_1 &=& 4.401098902515\\ [z_1 + \frac12 \sinh{(2z_1)} ] &=& 1666.611265232 \end{array}\)
\(\small{ \begin{array}{rcll} 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} - 1666.611265232 \\ 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} + 1666.611265232 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \qquad a = \frac{D}{ 2\pi} = \frac{2.05\ cm}{ 2\pi} = 0.32626763334 \\ 15000\ cm \cdot \frac{2}{0.32626763334 } + 1666.611265232 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \\ 93615.66454 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \\ \end{array} }\)
Ich setze \( K = 93615.66454\) und erhalten
\(\small{ \begin{array}{rcll} K &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \qquad \cdot 2\\ 2K &=& 2z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)}\\ \end{array} }\)
Ersetzen wir noch \(z_2 = \frac12 \bar{z}_2\) so erhalten wir schließlich \(2K = \bar{z}_2 + \frac12 \sinh{(\bar{z}_2) }\)
\(\bar{z}_2\) kann nur mit einem Iterationsverfahren, wie Newton-Raphson gelöst weren.
Iteration von \(\bar{z}_2 + \frac12 \sinh{(\bar{z}_2) } -2K=0\) zur Bestimmung von \(\bar{z}_2, z_2 \text{ und } \varphi_2 \):
Die 1. Ableitung lautet \(1+\cosh{ (\bar{z}_2) }\)
Den Startwert von \(Z_0\) setze ich auf 13.
1. Iteration
\(\begin{array}{rcll} Z_1 &=& Z_0 - \frac{ Z_0 + \frac12 \sinh{(Z_0) } -2\cdot 93615.66454 } { 1+\cosh{ (Z_0) } } \\ Z_1 &=& Z_0 - \frac{ Z_0 + \frac12 \sinh{(Z_0) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (Z_0) } } \\ Z_1 &=& 13 - \frac{ 13 + \frac12 \sinh{(13) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (13) } } \\ Z_1 &=& 13 - \frac{ 33988.3669} { 221207.696 } \\ Z_1 &=& 12.84635088 \end{array}\)
2. Iteration
\(\begin{array}{rcll} Z_1 &=& 12.84635088 - \frac{ 12.84635088 + \frac12 \sinh{(12.84635088 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.84635088 ) } } \\ Z_1 &=& 12.84635088 - \frac{ 2482.379952} { 189701.8619 } \\ Z_1 &=& 12.83386519 \end{array}\)
3. Iteration
\(\begin{array}{rcll} Z_3 &=& 12.83386519 - \frac{ 12.83386519 + \frac12 \sinh{(12.83386519 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83386519 ) } } \\ Z_3 &=& 12.83386519 - \frac{ 128.545428} { 187348.0409} \\ Z_3 &=& 12.83317906 \end{array}\)
4. Iteration
\(\begin{array}{rcll} Z_4 &=& 12.83317906 - \frac{ 12.83317906 + \frac12 \sinh{(12.83317906 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83317906 ) } } \\ Z_4 &=& 12.83317906 - \frac{ 0.0442938} { 187219.5405 } \\ Z_4 &=& 12.83317882 \end{array}\)
5. Iteration
\(\begin{array}{rcll} Z_5 &=& 12.83317882 - \frac{ 12.83317882 + \frac12 \sinh{(12.83317882 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83317882 ) } } \\ Z_5 &=& 12.83317882 - \frac{ 0.000315} { 187219.4956 } \\ Z_5 &=& 12.83317882 \quad \text{ Wert ändert sich nicht mehr, ende der Iteration} \end{array}\)
\(\begin{array}{rcll} \bar{Z}_2 = Z_5 &=& 12.8331788 \\ z_2 = \frac12 \bar{z}_2 &=& \frac { 12.8331788 }{2} = 6.4165894\\ \varphi_2 = \sinh(zi_2) &=& \sinh(6.4165894)\\ \varphi_2 &=& 305.955467\ rad\\ \end{array}\)
Der genaue Wert für \(\varphi_2\) wäre \(305.955467270901983788847109700863367400\dots rad\)
Bis dahin hat sich unsere archimedische Spirale bereits 48.69432498215 mal gedreht
( \(\small{ n_{max} = \frac{ \varphi_2 } {2\pi} = \frac{ 305.9554672709019837888\ rad } {2\pi} = 48.69432498215 }\) )
Der Schlauch selber hat sich \(n_{max} - n_{min} = 48.69432498215- 6.48780487805 = 42.2065201041\) mal gedreht.
Jetzt berechnen wir die Fläche unserer Spirale indem wir den größten Radius der Spirale bei \(\varphi_2 \) also \(r(\varphi_2)\) berechnen.
wäre noch die halbe Klemmenbreite von \(\frac{k}{2} = \frac{2.5\ cm}{2} = 1.25\ cm\) zu adieren, wie es asinus vorgeschlagen hat.
\(\small{ \begin{array}{rcll} r(\varphi_2) &=& r({305.9554672709019837888}) \\ r(\varphi_2) &=&a \cdot 305.9554672709019837888\\ &=& 99.823366213417\ cm\\\\ r_{Kreis} &=& r(\varphi_2) + \frac{k}{2}\\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417\ cm + \frac{2.5\ cm}{2} \\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417 + 1.25 \\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417 + 1.25 \\ r_{Kreis} &=& 101.073366213417034926541238\dots cm \end{array} }\)
Die Kreisfläche um die Spirale wäre:
\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{\text{Kreis um die Spirale}} &=& \pi\cdot r_{Kreis}^2 \\ &=& \pi\cdot r_{101.073366213417034926541238\dots cm}^2\\ &=& \pi\cdot r_{101.073366213417034926541238\dots cm}^2 \\ &=& 32093.9618941428\ cm^2 \\ &=& 3.20939618941428\ m^2 \\ \end{array} }\)
Die reine Spiralfläche hingegen wäre etwas kleiner.
Die parallele archimedische Spirale, die den Flächeninhalt bestimmt, lautet
\(r_{\parallel}(\varphi) = r(\varphi)+\frac{k}{2} = a\cdot \varphi +\frac{k}{2} \)
Die Sektorformel von Leibniz berechnet den Flächeninhalt und lautet
\(\small{ \begin{array}{rcll} A= \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { r(\varphi)^2\ d\varphi } \\ A= \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { (a\cdot \varphi +\frac{k}{2})^2\ d\varphi } \end{array} }\)
Nur die letzte Umdrehung liefert den Flächenanteil
\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{Spirale} &=& \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_2-2\pi}^{\varphi_2} { (a\cdot \varphi +\frac{k}{2})^2\ d\varphi } \\ \dots \\ A_{Spirale}&=&\frac{D^2}{12\pi}(3\varphi^2_2 -6\varphi_2\pi + 4\pi^2) +\frac{D\cdot k}{2}\cdot(\varphi_2-\pi)+\frac{k^2}{4}\pi \\ A_{Spirale}&=&31447.4234850739\ cm^2 \\ A_{Spirale}&=&3.14474234850739\ m^2 \\ \end{array} }\)
+26387 Hallo Ich möchte einen 150 Meter lange Poolabsorberschlauch16 mm Durchmesser (breite der Klemmen 25mm)spiralförmig auf einer Platte verschrauben.Wegen der Steifheit des schlauches ist der kleinste Durchmesser der Spirale mindestens 25 cm.Wie groß wir die Platte ? Mfg H W Birth
siehe: http://http://web2.0rechner.de/fragen/schlauchspirale
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