Unten, an einer Wand, liegt ein Würfel mit 1m Kantenlänge.
Nun soll eine 10m lange Leiter so an die Wand gestellt werden, dass sie gerade an der Würfelkante vorbeigeht, also die max. Höhe erreicht wird.
Wie weit ist das Fussteil der Leiter dann von der Wand entfernt?
Wir definieren:
\(\small{ \begin{array}{rcll} a &=& \text{ Kantenlänge des Würfels } = 1\ m \\ L &=& \text{ Länge der Leiter } = 10\ m \\ \\ x &=& \text{ Entfernung des Fußteils der Leiter von der Wand } \qquad x\ge a\ ! \\ y &=& \text{ Die Anlegehöhe an der Wand } \\ \end{array} }\)
I. Strahlensatz:
\(\begin{array}{rcll} \frac{x-a}{a} &=& \frac{x}{y} \qquad & | \qquad \cdot y\\ \frac{y(x-a)}{a} &=& x \qquad & | \qquad \cdot a\\ y(x-a) &=& ax \\ yx-ay &=& ax \qquad & | \qquad +ay\\ yx &=& ax+ay\\ yx &=& a(x+y)\\ \end{array}\)
\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} xy = a(x+y) = k \qquad \Rightarrow \qquad xy = k \qquad (x+y) = \frac{k}{a}\\ \end{array} ~} \)
II. Pythagoras:
\(\begin{array}{rcll} x^2+y^2 &=& L^2 \qquad & | \qquad x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy\\ (x+y)^2 -2xy &=& L^2 \qquad & | \qquad xy = k \qquad (x+y) = \frac{k}{a}\\ (\frac{k}{a})^2 -2k &=& L^2\\ \frac{k^2}{a^2} -2k &=& L^2 \qquad & | \qquad \cdot a^2\\ k^2 -2a^2k &=& a^2L^2 \\ k^2 -2a^2k - a^2L^2 &=& 0\\ \end{array}\)
Wir rechnen jetzt k aus:
\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} Ak^2+Bk+C &=& 0 \\ k_{1,2} &=& \frac{ -B \pm \sqrt{B^2-4AC} } { 2A} \end{array} ~}\\ \)
\(\begin{array}{rcll} k^2 -2a^2k - a^2L^2 &=& 0\qquad A= 1 \qquad B = -2a^2 \qquad C=-a^2L^2 \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{(-2a^2)^2-4\cdot 1 \cdot (-a^2L^2)} } { 2\cdot 1} \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{4a^4+ 4\cdot a^2L^2 } } { 2 } \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm \sqrt{4a^2(a^2 + L^2) } } { 2 } \\ k_{1,2} &=& \frac{ 2a^2 \pm 2a\cdot \sqrt{a^2+ L^2} } { 2 } \\ k_{1,2} &=& a^2 \pm a\cdot \sqrt{a^2+ L^2} \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{rcll} a= 1 \qquad L = 10\\ k_{1,2} &=& 1^2 \pm 1\cdot \sqrt{1+ L^2} \\ \mathbf{k_{1,2} }& \mathbf{=} & \mathbf{1 \pm \sqrt{1+ L^2} }\\ k_{1,2} &=& 1^2 \pm 1\cdot \sqrt{1^2+ 10^2} \\ k_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{1+ 10^2} \\ k_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{101} \\\\ k_{1} &=& 1 + \sqrt{101} \\ k_{1} &=& 11.0498756211\\\\ k_{2} &=& 1 - \sqrt{101} \\ k_{2} &=& -9.04987562112 \end{array}\)
Wir rechnen jetzt x und y aus:
\(\begin{array}{lrcll} (1)& xy &=& k \\ & y &=& \frac{k}{x} \\\\ (2)& x+y &=& \frac{k}{a} \\ & x+\frac{k}{x} &=& \frac{k}{a} \qquad & | \qquad \cdot x\\ & x^2+ k &=& \frac{k}{a} \cdot x\\ & x^2 - \frac{k}{a}\cdot x + k &=& 0\\ \end{array}\)
\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} Ax^2+Bx+C &=& 0 \\ x_{1,2} &=& \frac{ -B \pm \sqrt{B^2-4AC} } { 2A} \end{array} ~}\)
\(\begin{array}{rcll} x^2 - \frac{k}{a}\cdot x + k &=& 0 \qquad A= 1 \qquad B = -\frac{k}{a} \qquad C=k \\ x_{1,2} &=& \frac{ \frac{k}{a} \pm \sqrt{(-\frac{k}{a})^2-4\cdot 1 \cdot k} } { 2\cdot 1} \\ x_{1,2} &=& \frac{ \frac{k}{a} \pm \sqrt{\frac{k^2}{a^2} -4k} } { 2 } \\ \end{array}\)
\(\small{ \begin{array}{rcll} a= 1 \qquad k_{1} &=& 11.0498756211 \qquad k_{2} = -9.04987562112 \\ x_{1,2} &=& \frac{ k \pm \sqrt{k^2 -4\cdot k} } { 2 } \\ \mathbf{x_{1}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_1 + \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_1} } { 2 } }\\ x_{1} &=& \frac{ 11.0498756211 + \sqrt{11.0498756211^2 -4\cdot 11.0498756211} } { 2 } \\ x_{1} &=& 9.93799368936 \\\\ \mathbf{x_{2} }&\mathbf{=}&\mathbf{ \frac{ k_1 - \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_1} } { 2 } }\\ x_{2} &=& \frac{ 11.0498756211 - \sqrt{11.0498756211^2 -4\cdot 11.0498756211} } { 2 } \\ x_{2} &=& 1.11188193176\\\\ \mathbf{x_{3}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_2 + \sqrt{k_2^2 -4\cdot k_2} } { 2 } }\\ x_{3} &=& \frac{ -9.04987562112 + \sqrt{(-9.04987562112)^2 -4\cdot (-9.04987562112)} } { 2 } \\ x_{3} &=& 0.90874766162 \qquad \text{ keine Lösung } \qquad x \ge a\ ! \qquad x \ge 1\ !\\\\ \mathbf{x_{4}} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{ k_2 - \sqrt{k_1^2 -4\cdot k_2} } { 2 } }\\ x_{4} &=& \frac{ -9.04987562112- \sqrt{(-9.04987562112)^2 -4\cdot (-9.04987562112)} } { 2 } \\ x_{4} &=& -9.95862328274 \qquad \text{ keine Lösung } \qquad x \ge a\ ! \qquad x \ge 1\ !\\\\ \end{array} }\)
\(\small{ \begin{array}{rcll} y_{1} &=& x_2 = 1.11188193176 \\ y_{2} &=& x_1 = 9.93799368936 \end{array} }\)
Es gibt 2 reelle Lösungen.
Lösung 1: ( 9,93799368936 m; 1,11188193176 m )
Lösung 2: ( 1,11188193176 m; 9.93799368936 m )
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