Wie bei einigen der ersten Induktionsbeweise, die man im Studium so sieht, ist der Induktionsanfang überschaubar:
Für n=1 ist ∑1k=11k2=112=1≤1=2−11, da stimmt die Aussage also.
Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, und folgern, dass sie auch für n+1 gelten muss:
∑n+1k=11k2=∑nk=11k2+1(n+1)2≤2−1n+1(n+1)2=2−(n+1)2n(n+1)2+nn(n+1)2=2−n2+2n+1−nn(n+1)2=2−n2+n+1n(n+1)2=2−n(n+1)n(n+1)2−1n(n+1)2≤2−1n+1
Für die erste Ungleichheit habe ich dabei die Induktionsvoraussetzung benutzt, die zweite Ungleichung folgt, weil 1/n(n+1)² >0 und durch Kürzen.