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Für n ∈ N gilt:

n

∑   1/k^2 ≤ 2 - 1/n

k=1

 11.11.2020
 #1
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Wie bei einigen der ersten Induktionsbeweise, die man im Studium so sieht, ist der Induktionsanfang überschaubar:

Für n=1 ist \(\sum_{k=1}^1 \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} = 1 \leq 1 = 2-\frac{1}{1}\), da stimmt die Aussage also.

Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, und folgern, dass sie auch für n+1 gelten muss:

 

\(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2} = \\ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq \\ 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} = \\ 2 - \frac{(n+1)^2}{n(n+1)^2} + \frac{n}{n(n+1)^2} = \\ 2 - \frac{n^2+2n+1-n}{n(n+1)^2} = \\ 2 - \frac{n^2+n+1}{n(n+1)^2} = \\ 2 - \frac{n(n+1)}{n(n+1)^2}-\frac{1}{n(n+1)^2} \leq \\ 2 - \frac{1}{n+1}\)

 

Für die erste Ungleichheit habe ich dabei die Induktionsvoraussetzung benutzt, die zweite Ungleichung folgt, weil 1/n(n+1)² >0 und durch Kürzen.

 11.11.2020

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