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Für n ∈ N gilt:

n

∑   1/k^2 ≤ 2 - 1/n

k=1

 11.11.2020
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Wie bei einigen der ersten Induktionsbeweise, die man im Studium so sieht, ist der Induktionsanfang überschaubar:

Für n=1 ist 1k=11k2=112=11=211, da stimmt die Aussage also.

Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, und folgern, dass sie auch für n+1 gelten muss:

 

n+1k=11k2=nk=11k2+1(n+1)221n+1(n+1)2=2(n+1)2n(n+1)2+nn(n+1)2=2n2+2n+1nn(n+1)2=2n2+n+1n(n+1)2=2n(n+1)n(n+1)21n(n+1)221n+1

 

Für die erste Ungleichheit habe ich dabei die Induktionsvoraussetzung benutzt, die zweite Ungleichung folgt, weil 1/n(n+1)² >0 und durch Kürzen.

 11.11.2020

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