Alle Antworten 24988 Antworten

Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?
Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital

b.)
\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2}\)

Bernoulli / de l'Hospital:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} } \quad & | \quad \text{1. Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{-\sin(x)}{2x} \quad & | \quad \text{2. Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{-\cos(x)}{2} \\\\ &=& \dfrac{-\cos(0)}{2} \quad & | \quad \cos(0)=1 \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ -\dfrac{1}{2} } \\ \hline \end{array}\)

Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?

Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital

a.)

\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)} \)

Bernoulli / de l'Hospital:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)} }\\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{5\cos(5x)}{2\cos(2x)} \\\\ &=& \dfrac{5\cos(0)}{2\cos(0)} \quad & | \quad \cos(0)=1 \\\\ &=& \dfrac{5\cdot 1}{2\cdot 1} \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ \dfrac{5 }{2 } } \\ \hline \end{array}\)

2x*(4x-8y)

\(2x(4x-8y)=8x(x-2y)=8x^2-16xy\)

Hallo Tali123,

ich denke mehr wüssen wir nicht rechnen, denn wir haben bewiesen, das die Induktionsbehauptung mit dem Induktionsschluss übereinstimmt.

Hallo,der erfassen des Thread und der fragensteller hier nochmal.

erstmals möchte ich sagen das ich mich freue das hier geholfen wird und bedanke mich dafür.

Ich habe aber immer noch Probleme mit dieser Gleichung.

ich habe es jetzt bestimmt 100 mal angeschaut wie du/sie es erklären und habe mich in viele Videos die Regeln angeschaut wie man Gleichungen umstellt.

ich weiß gar nicht wie ich es wirklich erklären soll aber mir fehlt die regeln wie diese Umstellung gemacht wird es heißt immer in die videös alles was links passier muss auch rechts passieren aber das ist hier ja ganz anders oder ???

fält dieses überhaupt unter dem Nenner Gleichung aufstellen ?? Oder muss ich ein anderen Titel eingeben wenn ich Hilfe zur diesen Art von Lösungen brauche.

bei dem ersten Schritt ausklammern bei dieser Gleichung sehe ich das das 

x ( 1 sich ändert und das hierdurch dahinter jeweils x Vfass und  x Vb dahinter geschrieben wird aber weiter ändert sich nichts 

ich wäre sehr dankbar wenn dieses erklärt werden könnte sodass ich auch andere Gleichungen auflösen kann.

Hallo 🙏

Bitte studiere die Antworten unter

"Formel oder Gleichung"

Dort habe ich beschrieben, wie die Benzinfass-Gleichung aufgestellt wird.

Auch die Umstellung der Gleichung nach \(\vartriangle T\) habe ich dort ausführlich beschrieben.

Grüße

  !

Dankeee dir vielmals ! 

Ist das alles was man für diese Aufgabe rechnen muss ?

Hallo der Threat ist von mir 

meine Frage lautet :

Ich habe mir dieses Wochenende noch ein paar video‘s angeschaut über Gleichungen umstellen aber nichts past wirklich zu diese Gleichung.

Nehmen wir mal dem ersten Schrit.

Die Klammer auflösen

Nach welche Regel arbeitet ihr hier,

In der erste Klammer steht einen + einen x und noch einen x

Wen der Klammer aufgelöst ist

Steht Vob + Vob extra und nur noch alles x

Wird aus diese 1 der Vob ??

Ich würde 1+3 = 4 x Vob sagen

Ich verstehe es einfach nicht 🤯🤯🤯🤯🤯

Ich hoffe jemamanden kan mich nicht nur zeigen wie es umgestellt wird aber auch ein bisschen Erklärung geben über die Reihenfolge und regeln weil die video‘s im netzt erklären gut umstelllung von Gleichungen aber die Gleichung sind ganz anders

Danke 🙏

hoffentlich kriege ich noch Antwort auf meine Fragen.

Lieber Gast,

wie kürzt man e^-y|x|/e^-ikx ohne es in eine potenz zu schreiben und um dann das ganze gegen unendlich zu betrachten

Hallo Gast!

\(\large\frac{e^{-y|x|}}{e^{-ikx}}=\frac{e^{ikx}}{e^{y|x|}}=e^{ikx-y|x|}=e^{x(ik-|y|)}\\ \) mehr weiß ich nicht. 

Schicke uns Beispiele.

Milchstraße – Wikipedia

etwa 13,6 Milliarden Jahre alt .

Gegeben sei die Funktion

\(f(x) = \dfrac{2}{1-x^2}\)
Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die n-te  Ableitung von f von folgender Form ist:

\(f^{(n)} (x) = n! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{n+1} }+ (-1)^n \dfrac{1}{(1+x)^{n+1}} \right)\)

Induktionsanfang für \(n_0\) gilt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline f^{(0)} (x) &=& 0! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{0+1} }+ (-1)^0 \dfrac{1}{(1+x)^{0+1}} \right) \\\\ &=& 1\cdot \left(\dfrac{1}{1-x }+ 1\cdot \dfrac{1}{1+x} \right) \\\\ &=& \dfrac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x) } \\\\ &=& \dfrac{2}{1-x^2}~ \checkmark \qquad f^{(0)} (x) = f (x)\\ \hline \end{array} \)

Induktionsvoraussetzung (I.V.):
Für ein beliebiges \(n \in \mathbb{Z}\) mit \(n \ge n_0\) gilt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline f^{(n)} (x) &=& n! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{n+1} }+ (-1)^n \dfrac{1}{(1+x)^{n+1}} \right) \\ \hline \end{array}\)

Induktionsbehauptung: dann gilt auch für \((n+1)\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline f^{(n+1)} (x) &=& (n+1)! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{(n+1)+1} }+ (-1)^{(n+1)} \dfrac{1}{(1+x)^{(n+1)+1}} \right) \\ \hline \end{array} \)

Induktionsschluss: \(f^{(n+1)} (x) = \left(f^{(n)}(x) \right)'\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \left(f^{(n)}(x) \right)' &=& \left[ n! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{n+1} }+ (-1)^n \dfrac{1}{(1+x)^{n+1}} \right) \right]' \\\\ &=& \Big[~ n! \left(~ (1-x)^{-(n+1)} + (-1)^n (1+x)^{-(n+1)} ~\right) ~\Big]' \\\\ &=& n! \Big[~\left(~ (1-x)^{-(n+1)} + (-1)^n (1+x)^{-(n+1)} ~\right) ~\Big]' \\\\ &=& n! \Big(~ -(n+1)(1-x)^{-(n+1)-1}\cdot (-1) + (-1)^n ( -(n+1))(1+x)^{-(n+1)-1}\cdot 1 ~\Big) \\\\ &=& n! \Big(~ (n+1)(1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^n (-(n+1))(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ &=& n!(n+1) \Big(~ (1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^n \cdot (-1)(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ &=& n!(n+1) \Big(~ (1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^n \cdot (-1)^1(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ &=& n!(n+1) \Big(~ (1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^{(n+1)}(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ &=& (n+1)! \Big(~ (1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^{(n+1)}(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ \left(f^{(n)}(x) \right)' &=& (n+1)! \left(~ \dfrac{1}{(1-x)^{(n+1)+1}} + (-1)^{(n+1)} \dfrac{1}{(1+x)^{(n+1)+1}} ~\right)~\checkmark \\ \hline \end{array}\)

Gleichsinnig kongruente Figuren lassen sich durch Verschiebung oder Drehung(sowie durch ihre Kombination) ineinander überführen.

Bei nichtgleichsinnig kongruenten Figuren ist zusätzlich noch die Spiegelung an einer Geraden erforderlich.

So steht es in

Netz eines Zylinders.
Man soll die Seite a eines Rechteckes ausrechnen.Gegeben ist die Höhe des Rechteckes h = 5cm
und der Radius der Kreis - Teilfläche r = 1cm.

Hallo Gast!

Das Rechteck im Netz eines Zylinders ist der Mantel um den Zylinder.

Die Höhe h = 5cm ist die Höhe des Zylinders.

Die Seite a des Rechtecks ist der Umfang des Fußkreises des Zylinders.

Der Umfang eines Kreises ist

\(U=2\cdot \pi\cdot r\\ \pi =3,1415926...\\ r=1cm\\ U_{Fusskreis}=2\cdot 3,14\cdot 1cm\\ U_{Fusskreis}=6,28cm\\ \color{blue}Seite\ a=U_{Fusskreis}=6,28cm\)

Die Seite a des Rechtecks im Netz des Zylinders ist 6,28cm lang.

  !

3. wurzel aus 96

Hallo Gast!

Zerlege in die Primfaktoren

\(\sqrt[3]{96}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^2\cdot 3} \)

Ziehe 2  = \(\sqrt[3]{2^3} \) vor die Wurzel.

\(\sqrt[3]{96} =2\cdot\sqrt[3]{2^2\cdot 3} =2\cdot\sqrt[3]{12} \)

Die dritte Wurzel aus 12 ist mit einfachen Mitteln nicht errechenbar.

Mit Taschenrechner ist

\(\sqrt[3]{96} =4,5788569702...\)

oder mit herausgezogenen Primfaktoren

\( \sqrt[3]{96} =2\cdot\sqrt[3]{12} =2\cdot2,2894284851...\)

2,2894284851... ist  eine irrationale Zahl. Sie ist nicht als ein Bruch aus ganzen Zahlen darstellbar.

In meiner Schulzeit ging das so mit der Logarithmentafel:

log 96 =1,98227

 : 3      =0,66076

---------------------

Num.  =4,57886

  !

Erstmall schönen 3en Advent an Allen.

hoffentlich kriege ich noch Antwort auf meine Fragen.

danke 

du hast doch danach gefragt.

was passiert mit einem minus vor der klammer?

Hallo Gast!

Steht in einem Term mit Klammerausdrücken ein Minus vor der Klammer und die Klammer wird aufgelöst, so ändern innerhalb dieser Klammer alle Elemente, die der Strichrechnung (Addition, Substraktion) unterliegen ihr Vorzeichen. Hat das Element am Anfang des Klammerausdrucks kein Vorzeichen, so erhält es ein minus als Vorzeichen. Es entfallen das Minus vor der Klammer und die Klammersymbole.

\(A-(13+x^2 -ab +(a+b)^2)=A-13-x^2+ab-(a+b)^2 \)

\(A-(-abc+x\cdot y/3- \frac{3}{4})+B=A+abc-x\cdot y/3+ \frac{3}{4}+B\)

Wird die Klammer mit einem Term multipliziert, so wird erst das Minus vor der Klammer berücksichtigt, danach wird multipliziert. Das Minus kann aber auch auf den Multiplikanten übertragen und die Klammer so ausmultipliziert werden.

  !

Ein Stahlfass mit Benzin drin, wo gefragt wird, bei welcher Temperaturerhöhung der Topf überlaufen wird.

Hallo Gast!

Im Tabellenbuch findest du die Formeln für

|Volumen nach Temperaturänderung|.

Für das Stahlfass gilt

\(V=V_{Fass}\cdot (1+3\cdot \alpha_{st}\cdot \vartriangle T)\)

\(V_{Fass}\) ist das Ausgangsvolumen des Fasses.

|\(\alpha_{st}\)| ist der Längenausdehnungskoeffizient von Stahl,

|\(3\cdot \alpha_{st}\)| ist der räumliche Ausdehnungskoeffizient von Stahl.

Für den Benzininhalt gilt

\(V=V_{Be}(1+\gamma_ {Be}\cdot \vartriangle T)\) 

\(V_{Be}\) ist das Ausgangsvolumen des Benzininhaltes.

|\(\gamma_{Be}\)| ist der räumliche Ausdehnungskoeffizient von Benzin.

Hier beginnt dein Nachdenken. Wenn das Benzin überlaufen soll, müssen die Volumina von Fass und Inhalt gleich sein. Du bildest eine Gleichung:

\(V_{Fass}\cdot (1+3\cdot \alpha_{st}\cdot \vartriangle T)=V_{Be}(1+\gamma_ {Be}\cdot \vartriangle T)\)

Das ist deine Gleichung, sie steht in keinem Tabellenbuch. Sie ist der Begin zur Lösung der Frage:

Bei welcher Temperaturänderung \(\vartriangle T\) läuft der Topf über.

Die Auflösung der Gleichung nach \(\vartriangle T\) hat Omi67 bereits vollzogen.

Lies nach unter

18 du dummes dulli

Hallo,

ich bräuchte dringends Hilfe.

Die Aufgabe lautet: bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den grenzwert der folge.

nun habe ich versucht die Partialbruchzerlegung zu rechnen es kommt mir aber falsch rüber und ich komm bei den Rest der Aufgabe auch nicht mehr klar.

Danke im Voraus.

Wie berechne ich den Grenzwert der Folge ?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{4}{(2k+1)(2k+3)} } \\\\ &=& \displaystyle 4\sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} \\\\ &=& \displaystyle 4\sum \limits_{k=0}^{n} \dfrac12\left( \dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right ) \\\\ &=& \displaystyle 2\sum \limits_{k=0}^{n} \left( \dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right ) \\\\ &=& 2 \Big[ \left(\dfrac11 - \dfrac13\right)+\left(\dfrac13 - \dfrac15\right)+ \left(\dfrac15 - \dfrac19\right)+ \ldots \\ && +\left( \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right) \Big] \\\\ &=& 2 \Big[\mathbf{1} + \left(-\dfrac13+\dfrac13\right)+ \left(-\dfrac15+\dfrac15\right) + \left(-\dfrac19+\dfrac19\right) + \ldots \\ && + \left(-\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1} \right) \mathbf{- \dfrac{1}{2n+3}} \Big] \qquad \text{Teleskopreihe} \\\\ \mathbf{\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{4}{(2k+1)(2k+3)} }&\mathbf{=}& \mathbf{2 \left(1 - \dfrac{1}{2n+3} \right) } \\ \hline \end{array}\)

Grenzwert der Folge:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \lim \limits_{n\to \infty} 2 \left(1 - \dfrac{1}{2n+3} \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{2}{2n+3} \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{2}{2n+3} \cdot \left(\frac nn \right) \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{\frac{2}{n}}{2+\frac{3}{n}} \right) \quad | \quad n > 0! \\\\ &=& 2 - \dfrac{0}{2+0} \\\\ &=& 2 - 0 \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ 2 } \\ \hline \end{array}\)

Der Grenzwert der Folge ist 2

Beispielweise einen stahlfass wo Benin drin ist und gefragt wird bei welcher Temperatur dem Topf überlaufen wird.

ich nehme dan das Tabellenbuch und sehe dem volumenanderungsformel für das stahlfass und ich sehe die volumenanderungs Formel für Benzin 

Man könnte ja denken ich rechne einfach mal die beide Formeln aus, aber in die Lösung sieht man das mit eine Gleichung gearbeitet wir. 

Hoffe habe es etwas verständlich gemacht was ich meine.

danke

Danke Omi 67

ich habe noch ein paar fragen :

durch das ausklammer kommt jeweils einen VO an jeder Seite dazu, kannst du mir dies noch mal näher erklären ? 

Wie erkenne ich wen ich beispielweise bei dem 2en schritt mehrere Sachen auf einmal rüber schieben kan.

bei dem letzte/vorletzte schritt steht nun Klammert man links dem Delta Teta aus, kannst du mir dies auch noch mal bitte erklären.

Grundsätzlich wenn ich eine Gleichung sehe weiß ich nicht wo ich anfangen oder aufhören soll.

ich weiß das der Temperatur gesucht wird wobei der Topf überläuft aber am Anfang gibt es ja 2 mal eine Delta Teta und am Anfang nur noch eine.

hoffe es gibt ein Art von Leitfaden wo ich nicht nur diese aber auch andere Gleichungen problemlos mit umstellen kan.

danke 

Dazu braucht man erst mal die Summenforrmel. Die kann man sich mit Hilfe von Werten überlegen.

Vielleicht kannst Du meine Überlegungen nachvollziehen.

Um den Grenzwert ermitteln zu können, muss man die höchste vorkommende Potenz ausklammern und kürzen.

1/x oder 2/3 usw. gehen gegen Null, wenn x gegen Unendlich geht.