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avatar+10 

Hallo,

 

kann mir jemand sagen wie ich das zu berechnen habe. 

Ich wäre über jede Antwort dankbar.

 

Die Aufgabe lautet: 

Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?

Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital

 

a.) limx ->0 sin(5x) / sin(2x)

b.) limx ->0 cos(x) - 1 / x2

c.) lim (der pfeil hier ist etwas schräg kann es aber leider nicht eintippen) 0 ln(cos(x)) / ln(cos(3x))

 

Danke im Voraus.

 17.12.2018
 #1
avatar+20812 
+4

Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?

Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital

 

a.)

\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)} \)

 

Bernoulli / de l'Hospital:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)} }\\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{5\cos(5x)}{2\cos(2x)} \\\\ &=& \dfrac{5\cos(0)}{2\cos(0)} \quad & | \quad \cos(0)=1 \\\\ &=& \dfrac{5\cdot 1}{2\cdot 1} \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ \dfrac{5 }{2 } } \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 18.12.2018
 #2
avatar+20812 
+4

Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?
Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital

 

b.)
\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2}\)

 

Bernoulli / de l'Hospital:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} } \quad & | \quad \text{1. Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{-\sin(x)}{2x} \quad & | \quad \text{2. Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{-\cos(x)}{2} \\\\ &=& \dfrac{-\cos(0)}{2} \quad & | \quad \cos(0)=1 \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ -\dfrac{1}{2} } \\ \hline \end{array}\)

.
 18.12.2018
bearbeitet von heureka  18.12.2018
 #3
avatar+20812 
+4

Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?
Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital

 

c.)
\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\ln\Big(\cos(x) \Big)} {\ln\Big(\cos(3x)\Big)}\)

 

Bernoulli / de l'Hospital:

\(\begin{array}{|rcl|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\ln\Big(\cos(x) \Big)} {\ln\Big(\cos(3x)\Big) } } \quad | \quad \text{Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}} {\dfrac{-3\sin(3x)}{\cos(3x)} } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sin(x)\cos(3x)} {\cos(x)\sin(3x)} \\\\ && \begin{array}{|rcl|} \hline \sin(x)\cos(3x) &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(x-3x)+ \sin(x+3x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(-2x)+ \sin(4x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(4x)-\sin(2x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( 2\sin(2x)\cos(2x)-\sin(2x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot\sin(2x) \Big( 2\cos(2x)-1 \Big) \\ \hline \end{array}\\ && \begin{array}{|rcl|} \hline \sin(3x)\cos(x) &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(3x-x)+ \sin(3x+x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(2x)+ \sin(4x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(4x)+\sin(2x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot\sin(2x) \Big( 2\cos(2x)+1 \Big) \\ \hline \end{array}\\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\dfrac12\cdot\sin(2x) \Big( 2\cos(2x)-1 \Big)} {\dfrac12\cdot\sin(2x) \Big( 2\cos(2x)+1 \Big)} \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cos(2x)-1 \Big)} {\Big( 2\cos(2x)+1 \Big)} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cos(0)-1 \Big)} {\Big( 2\cos(0)+1 \Big)} \quad | \quad \cos(0)=1 \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cdot 1-1 \Big)} {\Big( 2\cdot 1+1 \Big)} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{ 1 } { 3 } \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ \dfrac{1}{9} } \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 18.12.2018
 #4
avatar+31 
+1

echt nett von dir. Dankeeee smiley

Also ist b.) kein Grenzwert, da es eine negative Zahl ist oder ?

 

Eine Frage hätte ich da noch, bei c.) hab ich ja gesagt dass der Pfeil etwas schräg ist hier ein Bild damit es etwas deutlicher wird. Ändert sich das Ergebnis der Aufgabe bezüglich des Pfeiles ?

 

 18.12.2018
bearbeitet von Tali123  18.12.2018
bearbeitet von Tali123  18.12.2018
bearbeitet von Tali123  18.12.2018
bearbeitet von Tali123  18.12.2018
 #5
avatar+20812 
+3

Hallo Tali123,

 

zu b.) Jede Zahl, auch eine negative Zahl ist ein Grenzwert.

 

laugh

heureka  19.12.2018
bearbeitet von heureka  19.12.2018
 #6
avatar+20812 
+4

c.)

hab ich ja gesagt dass der Pfeil etwas schräg ist hier ein Bild damit es etwas deutlicher wird.

Ändert sich das Ergebnis der Aufgabe bezüglich des Pfeiles ?


\(\displaystyle \lim \limits_{x\searrow 0} \dfrac{\ln\Big(\cos(x) \Big)} {\ln\Big(\cos(3x)\Big) } \qquad \text{von rechts annähern}\)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x &=& 0+\dfrac{1}{n} \\ &=& \dfrac{1}{n} \\ \hline \end{array}\)

 

\(\displaystyle \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln\Big(\cos(\frac{1}{n}) \Big)} {\ln\Big(\cos(\frac{3}{n})\Big) }\)

 

Bernoulli / de l'Hospital

\(\begin{array}{|rcl|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln\Big(\cos(\frac{1}{n}) \Big)} {\ln\Big(\cos(\frac{3}{n})\Big) } } \quad | \quad \text{Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{-\sin(\frac{1}{n})}{\cos(\frac{1}{n})}} {\dfrac{-3\sin(\frac{3}{n})}{\cos(\frac{3}{n})} } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sin(\frac{1}{n})\cos(\frac{3}{n})} {\cos(\frac{1}{n})\sin(\frac{3}{n})} \\\\ && \begin{array}{|rcl|} \hline \sin(\frac{1}{n})\cos(\frac{3}{n}) &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(\frac{1}{n}-3\cdot \frac{1}{n})+ \sin(\frac{1}{n}+3\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(-2\cdot \frac{1}{n})+ \sin(4\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(4\cdot \frac{1}{n})-\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( 2\sin(2\cdot \frac{1}{n})\cos(2\cdot \frac{1}{n})-\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})-1 \Big) \\ \hline \end{array}\\ && \begin{array}{|rcl|} \hline \sin(\frac{3}{n})\cos(\frac{1}{n}) &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(3\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{n})+ \sin(3\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(2\cdot \frac{1}{n})+ \sin(4\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(4\cdot \frac{1}{n})+\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( 2\sin(2\cdot \frac{1}{n})\cos(2\cdot \frac{1}{n})+\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})+1 \Big) \\ \hline \end{array}\\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\dfrac12\cdot\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})-1 \Big)} {\dfrac12\cdot\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})+1 \Big)} \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})-1 \Big)} {\Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})+1 \Big)} \quad |\quad \lim \limits_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0 \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cos(0)-1 \Big)} {\Big( 2\cos(0)+1 \Big)} \quad | \quad \cos(0)=1 \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cdot 1-1 \Big)} {\Big( 2\cdot 1+1 \Big)} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{ 1 } { 3 } \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ \dfrac{1}{9} } \\ \hline \end{array} \)

 

 

laugh

heureka  19.12.2018
 #7
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+1

Ah okii gut zu wissen, also existieren bei allen 3 Aufgaben ein Grenzwert.

 

Dankeee für die c.) laugh

 19.12.2018

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