Hallo.
ich brauche dringend eure Hilfe. Ich habe keinen Schimmer wie ich das berechnen soll.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben sei die Funktion f(x) = 2 / 1-x 2
Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die n-te (n EN) Ableitung von f von folgender Form ist:
f(n) (x) = n! (1/ (1-x)n+1 + (-1)n 1/(1+x)n+1 )
Hinweis: Die nullte Ableitung f(0) ist die Funktion selber. also f(0) (x) = f (x) .Ansonsten ist z.B. f(3) nur eine andere Schreibweise für f"'(x)
Danke im Voraus.
Gegeben sei die Funktion
f(x)=21−x2
Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die n-te Ableitung von f von folgender Form ist:
f(n)(x)=n!(1(1−x)n+1+(−1)n1(1+x)n+1)
Induktionsanfang für n0 gilt:
f(0)(x)=0!(1(1−x)0+1+(−1)01(1+x)0+1)=1⋅(11−x+1⋅11+x)=1+x+1−x(1−x)(1+x)=21−x2 ✓f(0)(x)=f(x)
Induktionsvoraussetzung (I.V.):
Für ein beliebiges n∈Z mit n≥n0 gilt:
f(n)(x)=n!(1(1−x)n+1+(−1)n1(1+x)n+1)
Induktionsbehauptung: dann gilt auch für (n+1)
f(n+1)(x)=(n+1)!(1(1−x)(n+1)+1+(−1)(n+1)1(1+x)(n+1)+1)
Induktionsschluss: f(n+1)(x)=(f(n)(x))′
(f(n)(x))′=[n!(1(1−x)n+1+(−1)n1(1+x)n+1)]′=[ n!( (1−x)−(n+1)+(−1)n(1+x)−(n+1) ) ]′=n![ ( (1−x)−(n+1)+(−1)n(1+x)−(n+1) ) ]′=n!( −(n+1)(1−x)−(n+1)−1⋅(−1)+(−1)n(−(n+1))(1+x)−(n+1)−1⋅1 )=n!( (n+1)(1−x)−(n+1)−1+(−1)n(−(n+1))(1+x)−(n+1)−1 )=n!(n+1)( (1−x)−(n+1)−1+(−1)n⋅(−1)(1+x)−(n+1)−1 )=n!(n+1)( (1−x)−(n+1)−1+(−1)n⋅(−1)1(1+x)−(n+1)−1 )=n!(n+1)( (1−x)−(n+1)−1+(−1)(n+1)(1+x)−(n+1)−1 )=(n+1)!( (1−x)−(n+1)−1+(−1)(n+1)(1+x)−(n+1)−1 )(f(n)(x))′=(n+1)!( 1(1−x)(n+1)+1+(−1)(n+1)1(1+x)(n+1)+1 ) ✓