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avatar+31 

Hallo.

ich brauche dringend eure Hilfe. Ich habe keinen Schimmer wie ich das berechnen soll.

Die Aufgabe lautet:

Gegeben sei die Funktion f(x) = 2 / 1-x

Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die n-te (n EN) Ableitung von f von folgender Form ist:

 

f(n) (x) = n! (1/ (1-x)n+1 + (-1)n   1/(1+x)n+1 )


Hinweis: Die nullte Ableitung f(0) ist die Funktion selber. also f(0) (x) = f (x)  .Ansonsten ist z.B. f(3) nur eine andere Schreibweise für f"'(x)

Danke im Voraus.
 

 14.12.2018
 #1
avatar+26397 
+8

Gegeben sei die Funktion

f(x)=21x2
Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die n-te  Ableitung von f von folgender Form ist:

f(n)(x)=n!(1(1x)n+1+(1)n1(1+x)n+1)

 

Induktionsanfang für n0 gilt:

f(0)(x)=0!(1(1x)0+1+(1)01(1+x)0+1)=1(11x+111+x)=1+x+1x(1x)(1+x)=21x2 f(0)(x)=f(x)

 

Induktionsvoraussetzung (I.V.):
Für ein beliebiges nZ mit nn0 gilt:

f(n)(x)=n!(1(1x)n+1+(1)n1(1+x)n+1)

 

Induktionsbehauptung: dann gilt auch für (n+1)

f(n+1)(x)=(n+1)!(1(1x)(n+1)+1+(1)(n+1)1(1+x)(n+1)+1)

 

Induktionsschluss: f(n+1)(x)=(f(n)(x))

(f(n)(x))=[n!(1(1x)n+1+(1)n1(1+x)n+1)]=[ n!( (1x)(n+1)+(1)n(1+x)(n+1) ) ]=n![ ( (1x)(n+1)+(1)n(1+x)(n+1) ) ]=n!( (n+1)(1x)(n+1)1(1)+(1)n((n+1))(1+x)(n+1)11 )=n!( (n+1)(1x)(n+1)1+(1)n((n+1))(1+x)(n+1)1 )=n!(n+1)( (1x)(n+1)1+(1)n(1)(1+x)(n+1)1 )=n!(n+1)( (1x)(n+1)1+(1)n(1)1(1+x)(n+1)1 )=n!(n+1)( (1x)(n+1)1+(1)(n+1)(1+x)(n+1)1 )=(n+1)!( (1x)(n+1)1+(1)(n+1)(1+x)(n+1)1 )(f(n)(x))=(n+1)!( 1(1x)(n+1)+1+(1)(n+1)1(1+x)(n+1)+1 ) 

 

 

laugh

 17.12.2018
 #2
avatar+31 
+2

Dankeee dir vielmals ! 

 

Ist das alles was man für diese Aufgabe rechnen muss ?

 17.12.2018
 #3
avatar+26397 
+8

Hallo Tali123,

 

ich denke mehr wüssen wir nicht rechnen, denn wir haben bewiesen, das die Induktionsbehauptung mit dem Induktionsschluss übereinstimmt.

 

laugh

heureka  18.12.2018

2 Benutzer online

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