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avatar+31 

Hallo,

ich bräuchte dringends Hilfe.

Die Aufgabe lautet: bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den grenzwert der folge.

nun habe ich versucht die Partialbruchzerlegung zu rechnen es kommt mir aber falsch rüber und ich komm bei den Rest der Aufgabe auch nicht mehr klar.

Danke im Voraus.

 13.12.2018
 #1
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+1

Hier ist erst mal die Partialbruchzerlegung:

Oder ist die Partialbruchzerlegung mit Hilfe der Grenzwertmethode gemeint?

 

laugh

 13.12.2018
 #2
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+1

Ah oki Dankee,also ich soll mithilfe der Partialbruchzerlegung den Grenzwert bestimmen/ausrechnen. Weißt du eventuell wie man den Grenzwert ausrechnet  wird ja mit limes soweit ich weiß gerechnet. 🧐

Gast 13.12.2018
bearbeitet von Gast  13.12.2018
bearbeitet von Gast  13.12.2018
 #3
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+1

Grenzwertmethode oder Abdeckregel

laugh

 13.12.2018
 #4
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+1

Dankeee vielmals smiley

Gast 13.12.2018
 #5
avatar+10401 
+1

Dazu braucht man erst mal die Summenforrmel. Die kann man sich mit Hilfe von Werten überlegen.

Vielleicht kannst Du meine Überlegungen nachvollziehen.

Um den Grenzwert ermitteln zu können, muss man die höchste vorkommende Potenz ausklammern und kürzen.

1/x oder 2/3 usw. gehen gegen Null, wenn x gegen Unendlich geht.

 13.12.2018
bearbeitet von Omi67  13.12.2018
bearbeitet von Omi67  13.12.2018
 #6
avatar+22274 
+9

Hallo,

ich bräuchte dringends Hilfe.

Die Aufgabe lautet: bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den grenzwert der folge.

nun habe ich versucht die Partialbruchzerlegung zu rechnen es kommt mir aber falsch rüber und ich komm bei den Rest der Aufgabe auch nicht mehr klar.

Danke im Voraus.

 

Wie berechne ich den Grenzwert der Folge ?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{4}{(2k+1)(2k+3)} } \\\\ &=& \displaystyle 4\sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} \\\\ &=& \displaystyle 4\sum \limits_{k=0}^{n} \dfrac12\left( \dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right ) \\\\ &=& \displaystyle 2\sum \limits_{k=0}^{n} \left( \dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right ) \\\\ &=& 2 \Big[ \left(\dfrac11 - \dfrac13\right)+\left(\dfrac13 - \dfrac15\right)+ \left(\dfrac15 - \dfrac19\right)+ \ldots \\ && +\left( \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right) \Big] \\\\ &=& 2 \Big[\mathbf{1} + \left(-\dfrac13+\dfrac13\right)+ \left(-\dfrac15+\dfrac15\right) + \left(-\dfrac19+\dfrac19\right) + \ldots \\ && + \left(-\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1} \right) \mathbf{- \dfrac{1}{2n+3}} \Big] \qquad \text{Teleskopreihe} \\\\ \mathbf{\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{4}{(2k+1)(2k+3)} }&\mathbf{=}& \mathbf{2 \left(1 - \dfrac{1}{2n+3} \right) } \\ \hline \end{array}\)

 

Grenzwert der Folge:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \lim \limits_{n\to \infty} 2 \left(1 - \dfrac{1}{2n+3} \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{2}{2n+3} \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{2}{2n+3} \cdot \left(\frac nn \right) \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{\frac{2}{n}}{2+\frac{3}{n}} \right) \quad | \quad n > 0! \\\\ &=& 2 - \dfrac{0}{2+0} \\\\ &=& 2 - 0 \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ 2 } \\ \hline \end{array}\)

 

Der Grenzwert der Folge ist 2

 

laugh

 14.12.2018

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