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Danke ;)

Wenn du wissen möchtse wie viel sie bezahlen muss musst du die 675.87$ + 137.99$ rechnen. Das ergibt 813.86$.

Wenn du wissen willst wieviel sie dann noch auf dem Konto hat musst du die 813.86$ - (die ursprünglichen) 2365.12 $ rechnen. das sind dann 1551.26. Ich hoffe das ich helfen konnte kannst ja mal sagen ob das jetzt die richtigen Antworten waren :) LG

Du könntest z.B. die Nullen weg lassen. Das würde heißen 31:5. Da eine Komma Zahl raus kommt könntest du auch den Taschenrechner nehmen. Z.B. auf dieser Seite    :)    Das Ergebnis ist übrigens 6,2   LG  ;)

Das sind natürlich 55.000 und nich 10.000 man muss schon Zahlen richtig lesen können!!!!

e) Verringert man das 7-Fache einer Zahl um 12, so erhält man dasselbe, wie wenn man das doppelte der gesuchten Zahl um 8 vergrößert.

$\begin{array}{rcll} 7x-12 &=& 2x+8\\ 5x&=&20\\ x&=&4 \end{array}$

f) Wenn man das 10-Fache einer Zahl um 1 vermindert erhält man 0.

$\begin{array}{rcll} 10x -1 &=& 0\\ 10x &=& 1 \\ x &=& 0,1 \\ \end{array}$

g) Wenn man eine Zahl um 21 vergrößert, erhält man dasselbe, wie wenn man das 5-Fache der Zahl um 3 verrößert.

$\begin{array}{rcll} x+21 &=& 5x+3\\ 21 &=& 4x+3\\ 18 &=& 4x\\ \frac{18}{4} &=& x\\ \frac{9}{2} &=& x\\ x &=& \frac92\\ x &=& 4,5\\ \end{array}$

h) Das 9-Fache einer Zahl ist um 75 größer als das 4-Fache der gesuchten Zahl.

$\begin{array}{rcll} 9x &=& 4x +75\\ 5x &=& 75\\ x &=& 15\\ \end{array}$

Ich verstehe so ne Aufgabenstellung nicht : a^loga(y)=a^loga(a^x)=a= ?

Was soll ich da bitteschön machen?

Eine Funktion und eine inverse(Umkehr)- Funktion heben sich gegenseitig auf.

1. Beispiel: So wie beispielsweise $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ . Das $x^2$ und die $\sqrt{()}$ heben sich auf.

2. Beispiel: $\sin{ ( \arcsin{(x)} ) } = x$.

sin(x) und arcsin(x), die Umkehrfunktion von sin(x) heben sich auf.

3. Beispiel: log(x) und die Umkehrfunktion $10^x$ heben sich gegenseitig auf. $\log_{10}{(10^x)} = x$ oder umgekehrt

$10^{\log{(x)}} = x$. Ob ich zuerst die Funktion mit der Umkehrfunktion oder die Umkehrfunktion mit der Funktion verwende ist egal, die beiden Funktionen heben sich gegenseitig auf.

Denn beide Funktionen sind jeweils die Umkehrfunktion der anderen Funktion.

$a^{log_a(y)} = a^{log_a(a^x)} = \ ?$

$a^x \text{ und } \log_a{(x)}$ sind Funktion und Umkehrfunktion und heben sich gegenseitig auf, als würde keine Funktion dort stehen.

$a^{log_a(y)} = a^{log_a(a^x)}$ bedeutet nicht anderes als $y = a^x$

nun kann nach a aufgelöst werden:

$\boxed{~ \begin{array}{rcll} y &=& a^x \\ y^{\frac{1}{x}} &=& a\\ a &=& y^{\frac{1}{x}} \end{array} ~}$

Hallo!

Sieh dir mal diesen Beitrag an:

Guten Morgen,

die Zahl  $\pi$   hat unendlich viele Stellen!

Eine Million Stellen findest du hier:  (einfach nur anklicken !)

Was muss in ... rein damit es gleich ist ? und Wie kommt man drauf ?

(1 + 1  / n ) *.... = ( 1+1 / (n + 1) )

$\small{ \begin{array}{rcll} \left(1 + \frac{1}{ n } \right) \cdot x &=& \left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right) \\\\ x &=& \dfrac{\left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right)} {\left(1 + \frac{1}{ n } \right)} \\\\ x &=& \dfrac{\left( \frac{n+1+1}{ n+1 } \right)} {\left(\frac{n+1}{ n } \right)} \\\\ x &=& \dfrac{\left( \frac{n+2}{ n+1 } \right)} {\left(\frac{n+1}{ n } \right)} \\\\ x &=&\left( \frac{n+2}{ n+1 } \right)\cdot \left(\frac{ n }{n+1} \right) \\\\ x &=&\left( \frac{n}{ n+1 } \right)\cdot \left(\frac{ n+2 }{n+1} \right) \\\\ x &=&\frac{n(n+2)}{ (n+1)^2 }\\\\ \left(1 + \frac{1}{ n } \right) \cdot \color{red} \dfrac{n(n+2)}{ (n+1)^2 } &=& \left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right) \\\\ \end{array} }$

Sry mein fehler hätte es besser darstellen sollen {nl} {nl} diese 1/n+1 ist nicht 1/n und +1 sondern 1 /(n+1) also n+1 ist der kompletter nenner, deswegen weißt ich auch nicht wie ich es machen soll.

Ist es dann einfach x= 1 + 1 / (1/(n+1)) ?

Hallo anonymous!

Was muss in ... rein damit es gleich ist ? und Wie kommt man drauf ?

(1+1/n)*....=(1+1/n+1)                       Die Unbekannte "x" einsetzen.

(1 + 1/n) * x = (1 + 1/n + 1)                Substitution: (1 + 1/n) = S

S * x = S + 1                                       Dividieren durch S

x = 1 + 1/S                                         Rücksubstitution S = (1 + 1/n)

x = 1 + 1 / (1 + 1/n)                            Dieser Term erfüllt die Ausgangsgleichung.                        

Probe:

S * (1 + 1/S) = S +1

S + 1 = S + 1                                                     okey

(1 + 1/n) * (1 + 1 / (1 + 1/n)) = (1 + 1/n + 1) 

(1 + 1/n) + 1 = (1 + 1/n + 1) 

2 + 1/n = 2 + 1/n                                                okey

Gruß asinus :- ) ! 

3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 1 7 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9 1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9 2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0 5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5 1 1 6 0 9 4 3 3 0 5 7 2 7 0 3 6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8 6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1 0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9 9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2 7 2 4 8 9 1 2 2 7 9 3 8 1 8 3 0 1 1 9 4 9 1 2 9 8 3 3 6 7 3 3 6 2 4 4 0 6 5 6 6 4 3 0 8 6 0 2 1 3 9 4 9 4 6 3 9 5 2 2 4 7 3 7 1 9 0 7 0 2 1 7 9 8 6 0 9 4 3 7 0 2 7 7 0 5 3 9 2 1 7 1 7 6 2 9 3 1 7 6 7 5 2 3 8 4 6 7 4 8 1 8 4 6 7 6 6 9 4 0 5 1 3 2 0 0 0 5 6 8 1 2 7 1 4 5 2 6 3 5 6 0 8 2 7 7 8 5 7 7 1 3 4 2 7 5 7 7 8 9 6 0 9 1 7 3 6 3 7 1 7 8 7 2 1 4 6 8 4 4 0 9 0 1 2 2 4 9 5 3 4 3 0 1 4 6 5 4 9 5 8 5 3 7 1 0 5 0 7 9 2 2 7 9 6 8 9 2 5 8 9 2 3 5 4 2 0 1 9 9 5 6 1 1 2 1 2 9 0 2 1 9 6 0 8 6 4 0 3 4 4 1 8 1 5 9 8 1 3 6 2 9 7 7 4 7 7 1 3 0 9 9 6 0 5 1 8 7 0 7 2 1 1 3 4 9 9 9 9 9 9 8 3 7 2 9 7 8 0 4 9 9 5 1 0 5 9 7 3 1 7 3 2 8 1 6 0 9 6 3 1 8 5 9 5 0 2 4 4 5 9 4 5 5 3 4 6 9 0 8 3 0 2 6 4 2 5 2 2 3 0 8 2 5 3 3 4 4 6 8 5 0 3 5 2 6 1 9 3 1 1 8 8 1 7 1 0 1 0 0 0 3 1 3 7 8 3 8 7 5 2 8 8 6 5 8 7 5 3 3 2 0 8 3 8 1 4 2 0 6 1 7 1 7 7 6 6 9 1 4 7 3 0 3 5 9 8 2 5 3 4 9 0 4 2 8 7 5 5 4 6 8 7 3 1 1 5 9 5 6 2 8 6 3 8 8 2 3 5 3 7 8 7 5 9 3 7 5 1 9 5 7 7 8 1 8 5 7 7 8 0 5 3 2 1 7 1 2 2 6 8 0 6 6 1 3 0 0 1 9 2 7 8 7 6 6 1 1 1 9 5 9 0 9 2 1 6 4 2 0 1 9 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4 0 6 4 3 5 4 9 5 5 6 1 8 6 8 9 6 4 1 1 2 2 8 2 1 4 0 7 5 3 3 0 2 6 5 5 1 0 0 4 2 4 1 0 4 8 9 6 7 8 3 5 2 8 5 8 8 2 9 0 2 4 3 6 7 0 9 0 4 8 8 7 1 1 8 1 9 0 9 0 9 4 9 4 5 3 3 1 4 4 2 1 8 2 8 7 6 6 1 8 1 0 3 1 0 0 7 3 5 4 7 7 0 5 4 9 8 1 5 9 6 8 0 7 7 2 0 0 9 4 7 4 6 9 6 1 3 4 3 6 0 9 2 8 6 1 4 8 4 9 4 1 7 8 5 0 1 7 1 8 0 7 7 9 3 0 6 8 1 0 8 5 4 6 9 0 0 0 9 4 4 5 8 9 9 5 2 7 9 4 2 4 3 9 8 1 3 9 2 1 3 5 0 5 5 8 6 4 2 2 1 9 6 4 8 3 4 9 1 5 1 2 6 3 9 0 1 2 8 0 3 8 3 2 0 0 1 0 9 7 7 3 8 6 8 0 6 6 2 8 7 7 9 2 3 9 7 1 8 0 1 4 6 1 3 4 3 2 4 4 5 7 2 6 4 0 0 9 7 3 7 4 2 5 7 0 0 7 3 5 9 2 1 0 0 3 1 5 4 1 5 0 8 9 3 6 7 9 3 0 0 8 1 6 9 9 8 0 5 3 6 5 2 0 2 7 6 0 0 7 2 7 7 4 9 6 7 4 5 8 4 0 0 2 8 3 6 2 4 0 5 3 4 6 0 3 7 2 6 3 4 1 6 5 5 4 2 5 9 0 2 7 6 0 1 8 3 4 8 4 0 3 0 6 8 1 1 3 8 1 8 5 5 1 0 5 9 7 9 7 0 5 6 6 4 0 0 7 5 0 9 4 2 6 0 8 7 8 8 5 7 3 5 7 9 6 0 3 7 3 2 4 5 1 4 1 4 6 7 8 6 7 0 3 6 8 8 0 9 8 8 0 6 0 9 7 1 6 4 2 5 8 4 9 7 5 9 5 1 3 8 0 6 9 3 0 9 4 4 9 4 0 1 5 1 5 4 2 2 2 2 1 9 4 3 2 9 1 3 0 2 1 7 3 9 1 2 5 3 8 3 5 5 9 1 5 0 3 1 0 0 3 3 3 0 3 2 5 1 1 1 7 4 9 1 5 6 9 6 9 1 7 4 5 0 2 7 1 4 9 4 3 3 1 5 1 5 5 8 8 5 4 0 3 9 2 2 1 6 4 0 9 7 2 2 9 1 0 1 1 2 9 0 3 5 5 2 1 8 1 5 7 6 2 8 2 3 2 8 3 1 8 2 3 4 2 5 4 8 3 2 6 1 1 1 9 1 2 8 0 0 9 2 8 2 5 2 5 6 1 9 0 2 0 5 2 6 3 0 1 6 3 9 1 1 4 7 7 2 4 7 3 3 1 4 8 5 7 3 9 1 0 7 7 7 5 8 7 4 4 2 5 3 8 7 6 1 1 7 4 6 5 7 8 6 7 1 1 6 9 4 1 4 7 7 6 4 2 1 4 4 1 1 1 1 2 6 3 5 8 3 5 5 3 8 7 1 3 6 1 0 1 1 0 2 3 2 6 7 9 8 7 7 5 6 4 1 0 2 4 6 8 2 4 0 3 2 2 6 4 8 3 4 6 4 1 7 6 6 3 6 9 8 0 6 6 3 7 8 5 7 6 8 1 3 4 9 2 0 4 5 3 0 2 2 4 0 8 1 9 7 2 7 8 5 6 4 7 1 9 8 3 9 6 3 0 8 7 8 1 5 4 3 2 2 1 1 6 6 9 1 2 2 4 6 4 1 5 9 1 1 7 7 6 7 3 2 2 5 3 2 6 4 3 3 5 6 8 6 1 4 6 1 8 6 5 4 5 2 2 2 6 8 1 2 6 8 8 7 2 6 8 4 4 5 9 6 8 4 4 2 4 1 6 1 0 7 8 5 4 0 1 6 7 6 8 1 4 2 0 8 0 8 8 5 0 2 8 0 0 5 4 1 4 3 6 1 3 1 4 6 2 3 0 8 2 1 0 2 5 9 4 1 7 3 7 5 6 2 3 8 9 9

Primzahl? Nein

Teiler: 1, 179, 863, 154477

Ist auf alle fälle durch 1 teilbar :)

hoffe das das richtig ist

Das sind 27. 36:4 sind 9 und dann einfach 9*3 rechnen :)

Hallo,

hier findest du noch einige Formeln zu Flächeninhalten:

n über k

wie geht das ?

$\dbinom{n}{k} = \left( \dfrac{n}{k} \right) \cdot \left( \dfrac{n-1}{k-1} \right) \cdot \left( \dfrac{n-2}{k-2} \right) \cdot\ \cdots\ \cdot \left( \dfrac{n-(k-1)}{1} \right)$

Beispiel:

$\begin{array}{rcl} \dbinom{6}{3} &=& \left( \dfrac{6}{3} \right) \cdot \left( \dfrac{5}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{4}{1} \right) \\ &=& \dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1} \\ &=& \dfrac{120}{6} \\ &=& 20 \end{array}$

Hallo,

hier kannst du dich informieren :

Vielen Dank!

Aufgabe 1.1

 Da sich im Eingangsbereich der Sporthalle und dem anschließenden Flur keine Fenster befinden ist es notwendig diese Bereiche dauerhaft zu beleuchten. die Halle wird wöchentlich 90 Stunden genutzt 52 Wochen im Jahr die benötigte Beleuchtungsstärke kann durch fünf Einbaustrahler mit 18 W Leuchtstofflampen und Verlustarmen Vorschaltgerät 8 W erreicht werden.ein Einbaustrahler dieser Bauart kostet 68,75 € inklusive Leuchtmittel Alternativ könnten LED Einbaustrahler gewählt werden diese erreichen ebenfalls 1200 Lumen benötigen aber lediglich 12 W die Kosten eines Strahles betragen 101,74 €

1. ermitteln Sie die Energiekosten beider Varianten für eine Woche bei einem Arbeitspreis von 0,29 € kWh

Energiekosten Variante Leuchstofflampen:

Eine Leuchtstofflampe hat 18 W und im Sockel befindet sich ein Vorschaltgerät mit 8 W. Das sind insgesamt 26 W für jede Leuchtstofflampe.

Summe Watt = 5 * 26 W

Summe Watt = 130 W  (0,130 kW)

Die Halle wird in einer Woche für 90 Stunden genutzt.

Energiekosten für eine Woche = Summe Watt * Stunden * Preis

$\text{Energiekosten }_{1\ \text{Woche}} = 0,130\ kW \cdot 90\ h \cdot \frac{0,29\ €}{kWh}\\ \text{Energiekosten }_{1\ \text{Woche}} = 3,393\ \frac{ € } {\text{Woche} }$

Energiekosten Variante LED:

Summe Watt = 5 * 12 W
Summe Watt = 60 W  (0,060 kW)
Energiekosten für eine Woche = Summe Watt * Stunden * Preis

$\text{Energiekosten }_{1\ \text{Woche}} = 0,060\ kW \cdot 90\ h \cdot \frac{0,29\ €}{kWh}\\ \text{Energiekosten }_{1\ \text{Woche}} = 1,566\ \frac{ € } {\text{Woche} }$

2.  nach welcher Zeit in Wochen und Jahren hätten sich die mehrinvestition für die LED leuchten amortisiert ?

5 Leuchtstofflampen kosten 5 * 68,75€ = 343,75€

5 LED kosten 5 * 101,74€ = 508,70€

Investitionen:

$\text{Investition}_{\text{Leuchtstofflampe}} = 343,75€ + 3,393\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x \ \text{Wochen}\\ \text{Investition}_{\text{LED}} = 508,70€ + 1,566\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x \ \text{Wochen}$

Die LED Leuchten hätten sich amortisiert, wenn die Investition der Leuchtstofflampen = Investition der LED ist.

$\small{ \begin{array}{rcl} \text{Investition}_{\text{Leuchtstofflampe}} &=& \text{Investition}_{\text{LED}} \\ 343,75€ + 3,393\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x &=& 508,70€ + 1,566\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x \\ 3,393\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x &=& 508,70€ - 343,75€ + 1,566\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x \\ 3,393\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x - 1,566\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x &=& 508,70€ - 343,75€ \\ 3,393\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x - 1,566\ \frac{ € } {\text{Woche} } \cdot x &=& 164,95€ \\ x \cdot \left( 3,393\ \frac{ € } {\text{Woche} } - 1,566\ \frac{ € } {\text{Woche} } \right) &=& 164,95€ \\ x \cdot \left( 1,827\ \frac{ € } {\text{Woche} } \right) &=& 164,95€ \\ x &=& \frac{164,95}{ 1,827 } \ \text{Wochen} \\ x &=& 90.2846195950\ \text{Wochen} \\ x &=& 91\ \text{Wochen} \qquad | \qquad 52\ \text{Wochen} = 1\ \text{Jahr}\\ x &=& 1\ \text{Jahr } \text{ und } 39\ \text{Wochen} \\ \end{array} }$

Investition nach 90 Wochen:

Leuchtstofflampe = 649,12€

LED = 649,64€

Investition nach 91 Wochen:

Leuchtstofflampe = 652,513€

LED = 651,206€

Nach 91 Wochen hätten sich die LED Leuchten amortisiert.

Guten Morgen,

die Hilfe kommt:

$5*186€+200€=930€+200€=1130€$

Gruß radix !

Guten Morgen,

welche Flächen möchtest du berechnen ??

Sieh im Internet nach, bei den Formeln im Rechner oder schreibe uns ganz einfach die  Fläche :

z.B.   Rechteckfläche:    $A=a*b$

Kreisfläche :      $A=r^2*\pi$        

Gruß radix !

Wie klammert man hier es aus ? {nl} Ich versteh die reihenfolge nicht.

0,5 ((n+1+1)+1)(2y+x(n+1))

Zuerst die inneren Klammern bis zu den äußersten Klammern.

$\begin{array}{rcll} &0,5 \cdot &(&\color{red}(\color{black}&n+1+1&\color{red})\color{black} &+1&) &(&2y+x&\color{red}(\color{black}&n+1&\color{red})\color{black}&)& \\ \text{Die Klammerstufe }& &1& 2 & & 2 & &1 &1& &2 & & 2 &1& \\ \end{array}$

Zuerst die roten Klammern mit der Klammerstufe 2 auflösen, sie haben die höchste Klammerstufe, sind also im innersten.

Danach die schwarzen Klammern mit der Klammerstufe 1 auflösen.

$\small{ \text{Die Klammerstufe: }\\ \begin{array}{rcll} &1& 2 & & 2 & &1 &1& &2 & & 2 &1& \\ 0,5 \cdot &(&\color{red}(\color{black}&n+1+1&\color{red})\color{black} &+1&) &(&2y+x\cdot &\color{red}(\color{black}&n+1&\color{red})\color{black}&)& \\ = 0,5 \cdot &(&&n+1+1& &+1&) &(&2y+x\cdot n + x &&&&)& \\ = 0,5 \cdot &(&&n+3& & &) &(&2y+x\cdot n + x &&&&)& \\ = 0,5 \cdot &(&&n\cdot 2y + x\cdot n^2+n\cdot x + 6y + 3x\cdot n+3\cdot x & & &) && &&&&& \\ = 0,5 \cdot &(&&n\cdot 2y + x\cdot n^2+ 4n\cdot x + 6y +3\cdot x & & &) && &&&&& \\ = 0,5 \cdot &(&&n\cdot 2y + x\cdot n^2+ 4n\cdot x + 6y +3\cdot x & & &) && &&&&& \\ \end{array} }\\ \small{ \begin{array}{rcll} = n\cdot y + 0,5x\cdot n^2+ 2n\cdot x + 3y +1,5\cdot x \end{array} }$

Hallo ich bräuchte eine Erklärung warum 

f(x) = ax

abgeleitet

f'(x) = ax log(a)   

Ich versteh das prinzip dahinter nicht.

I. Möglichkeit

$\begin{array}{rcll} y &=& a^x \qquad & | \qquad \ln{()} \\ \ln{(y)} &=& \ln{(a^x)} \qquad & | \qquad \boxed{~ \ln{(a^x)}=x\ln{(a)} ~}\\ \ln{(y)} &=& x\ln{(a)} \\ (~ \ln{(y)} ~)' &=& (~ x\ln{(a)} ~)' \qquad & | \qquad (~\ln{(y)}~)' = \frac{y'}{y} \qquad (~x\ln{(a)}~)'= \ln{(a)}\\ \frac{y'}{y} &=& \ln{(a)} \\ y' &=& y \cdot \ln{(a)} \qquad & | \qquad y = a^x \\ \mathbf{y'} &\mathbf{=}& \mathbf{ a^x \cdot \ln{(a)} }\\ \end{array}$

II. Möglichkeit

Umwandlung der Basis a zur Basis e

$\boxed{~ \begin{array}{rcll} a^x &=& e^z \qquad & | \qquad \ln{()} \\ \ln{(a^x)} &=& \ln{(e^z)} \\ x\cdot \ln{(a)} &=& z\cdot \ln{(e)} \qquad & | \qquad \boxed{~ \ln{(e)}=1 ~}\\ x\cdot \ln{(a)} &=& z \\ z &=& x\cdot \ln{(a)}\\ a^x &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ \end{array} ~}$

$\begin{array}{rcll} \boxed{~\text{Formel: } \qquad y= e^x \qquad y'=e^x ~}\\\\ y &=& a^x = e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ y &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ y' &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \cdot (~ x\ln{(a)} ~)' \qquad & | \qquad (~x\ln{(a)}~)'= \ln{(a)}\\ y' &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \cdot \ln{(a)} \qquad & | \qquad e^{x\cdot \ln{(a)}} = a^x\\ y' &=& a^x \cdot \ln{(a)} \\ \mathbf{y'} &\mathbf{=}& \mathbf{ a^x \cdot \ln{(a)} }\\ \end{array}$