+26404 Zeige mit vollständiger Induktion, dass für n=0,1,2,... und beliebiges x>-1 die Bernoullische Ungleichung (1+x)n >=1+nx gilt.
\(\begin{array}{lcl} \mathbf{\text{Aussage: } }\\ \text{Für alle } x \in R \text{ mit } x \ge -1 \text{ und alle } n \in N \text{ gilt:}\\\\ \qquad (1 + x )^n \ge 1 + n \cdot x \quad \text{ (Bernoullische Ungleichung) } \\\\ \text{Beweis. (per Induktion nach n).}\\ \text{Sei im folgenden } x \in R \text{ mit } x \ge -1 \text{ beliebig.}\\\\ \text{Wir starten mit dem Induktionsanfang:(I.A.)} \\ \text{Für } n = 0 \text{ gilt } (1 +x)^0 = 1 \ge 1 + 0\cdot x, \text{ d.h. die Behauptung ist im Fall } n = 0 \text{ korrekt.}\\ \text{Für } n = 1 \text{ gilt } (1 +x)^1 = 1 + x \ge 1 + 1 \cdot x, \text{ d.h. die Behauptung ist im Fall } n = 1 \text{ korrekt.}\\ \text{Induktionsvoraussetzung (I.V.) Es gelte } (1 + x )^n = 1 + n \cdot x. \text{ Wir müssen zeigen, }\\ \text{dass }(1 +x)^{n+1} \ge 1 + (n + 1) \cdot x \text{ gilt.}\\\\ \end{array}\\\\ \begin{array}{lcl} \text{Es gilt: } \\\\ & (1 +x)^{n+1}& = &(1 +x)^n \cdot (1 + x )\\ &&\ge& (1 + n \cdot x ) \cdot (1 + x ) \text{ (nach I.V.)}\\ &&=& 1 +x+n \cdot x + n \cdot x^2 \\ &&=& 1 + (n+ 1) \cdot x + n \cdot x^2 \\ &&=& (1 + (n+ 1)\cdot x ) + \underbrace{ n \cdot x^2 }_{\ge 0} \\ &&\ge& 1 + ( n + 1) \cdot x\\\\ \text{also die Behauptung.} \end{array}\)
http://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/AG-Krause/teachings/ws0607_mif1/induktion.pdf
Seite 4 ff
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