Ein Wal bewegt sich auf der Geraden \(w: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-0,4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix} \)
Wenn die Zahlen Kilometerangaben sind, dann errechnet sich folgendes:
Wir setzen:
\(\begin{array}{lcl} \vec{a}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-0,4 \end{pmatrix} \qquad \vec{r}=\begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix} \quad r = |\vec{r}| = \sqrt{4+4+0,5^2} = \sqrt{8,25}\\\\ \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{r}\\\\ \vec{s} = \begin{pmatrix} 3\\0\\-0,15 \end{pmatrix} \end{array} \)
(a) Bestimme die Zeitdauer von der ersten Ortung des Fischschwarms bis zum Fang.
Wir berechnen zuerst den Zeitpunkt des fangens. Dann ist \(\vec{x} = \vec{s} = \vec{a} + t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r}\)
Der Zeitpunkt des fangens ist \(t_{\text{Fang}}\):
\(\begin{array}{rcll} \vec{s} &=& \vec{a} + t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} \\ \vec{s}-\vec{a} &=& t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} \qquad &| \qquad \cdot \vec{r} \\ (\vec{s}-\vec{a})\cdot \vec{r} &=& t_{\text{Fang}} \cdot (\vec{r} \cdot \vec{r}) \qquad &| \qquad \vec{r} \cdot \vec{r} = |\vec{r}^2| = r^2 = 8,25\\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{(\vec{s}-\vec{a})\cdot \vec{r}} {r^2} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ \left[\begin{pmatrix} 3\\0\\-0,15 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\1\\-0,4 \end{pmatrix} \right]\cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix}} {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0,25 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix}} {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ 1\cdot 2 + (-1)(-2) + 0,25\cdot 0,5 } {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ 2 + 2 + 0,25\cdot 0,5 } {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& \frac{ 4.125 } {8,25} \\ t_{\text{Fang}} &=& 0,5\ \text{Stunden}\\ \end{array}\)
Bestimme die Zeitdauer von der ersten Ortung des Fischschwarms bis zum Fang:
Der Wal war bei der ersten Ortung des Fischschwarms 2,5 km entfernt.
\(\begin{array}{rcll} | \vec{x_\text{Fang}} - \vec{x_\text{1. Ortung}} | &=& 2,5\ km \\ | \vec{a} + t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} - ( \vec{a} + t_{\text{1. Ortung}} \cdot \vec{r} ) | &=& 2,5\ km \\ | \vec{a} + t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} - \vec{a} - t_{\text{1. Ortung}} \cdot \vec{r} ) | &=& 2,5\ km \\ | t_{\text{Fang}} \cdot \vec{r} - t_{\text{1. Ortung}} \cdot \vec{r} ) | &=& 2,5\ km \\ | (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) \cdot \vec{r} ) | &=& 2,5\ km \\ (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}})| \vec{r} | &=& 2,5\ km \qquad | \qquad |\vec{r}| = r = \sqrt{8,25}\\ (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) \sqrt{8,25} &=& 2,5\ km \\ (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) &=&\frac{ 2,5 } { \sqrt{8,25} }\\ (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) &=&0,8703882798\ \text{Stunden}\\ \end{array}\)
Die Zeitdauer von der ersten Ortung des Fischschwarms bis zum Fang beträgt 0,8703882798 Stunden.
(b) Wo befand sich der Wal im Moment der ersten Ortung?
\(\begin{array}{rcll} (t_{\text{Fang}} - t_{\text{1. Ortung}}) &=& \frac{ 2,5 } { \sqrt{8,25} }\\ t_{\text{1. Ortung}} &=& t_{\text{Fang}} - \frac{ 2,5 } { \sqrt{8,25} }\\ t_{\text{1. Ortung}} &=& 0,5\ \text{Stunden} - 0,8703882798\ \text{Stunden}\\ t_{\text{1. Ortung}} &=& -0,3703882798\ \text{Stunden}\\\\ x_{\text{1. Ortung}} &=& \vec{a} + t_{\text{1. Ortung}} \cdot \vec{r} \\ x_{\text{1. Ortung}} &=& \begin{pmatrix} 2\\1\\-0,4 \end{pmatrix} -0,3703882798 \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0,5 \end{pmatrix} \\ x_{\text{1. Ortung}} &=& \begin{pmatrix} 2 -0,3703882798 \cdot 2 \\ 1 -0,3703882798 \cdot (-2) \\ -0,4 -0,3703882798 \cdot 0,5 \end{pmatrix} \\ x_{\text{1. Ortung}} &=& \begin{pmatrix} 1,2592234404 \\ 1,7407765596 \\ -0,5851941399 \end{pmatrix} \\ \end{array}\)
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