Ableiten einer Exponentialfunktion mit beliebiger Basis

Hallo ich bräuchte eine Erklärung warum 

f(x) = ax

abgeleitet

f'(x) = ax log(a)   

Ich versteh das prinzip dahinter nicht.

I. Möglichkeit

$\begin{array}{rcll} y &=& a^x \qquad & | \qquad \ln{()} \\ \ln{(y)} &=& \ln{(a^x)} \qquad & | \qquad \boxed{~ \ln{(a^x)}=x\ln{(a)} ~}\\ \ln{(y)} &=& x\ln{(a)} \\ (~ \ln{(y)} ~)' &=& (~ x\ln{(a)} ~)' \qquad & | \qquad (~\ln{(y)}~)' = \frac{y'}{y} \qquad (~x\ln{(a)}~)'= \ln{(a)}\\ \frac{y'}{y} &=& \ln{(a)} \\ y' &=& y \cdot \ln{(a)} \qquad & | \qquad y = a^x \\ \mathbf{y'} &\mathbf{=}& \mathbf{ a^x \cdot \ln{(a)} }\\ \end{array}$

II. Möglichkeit

Umwandlung der Basis a zur Basis e

$\boxed{~ \begin{array}{rcll} a^x &=& e^z \qquad & | \qquad \ln{()} \\ \ln{(a^x)} &=& \ln{(e^z)} \\ x\cdot \ln{(a)} &=& z\cdot \ln{(e)} \qquad & | \qquad \boxed{~ \ln{(e)}=1 ~}\\ x\cdot \ln{(a)} &=& z \\ z &=& x\cdot \ln{(a)}\\ a^x &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ \end{array} ~}$

$\begin{array}{rcll} \boxed{~\text{Formel: } \qquad y= e^x \qquad y'=e^x ~}\\\\ y &=& a^x = e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ y &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \\ y' &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \cdot (~ x\ln{(a)} ~)' \qquad & | \qquad (~x\ln{(a)}~)'= \ln{(a)}\\ y' &=& e^{x\cdot \ln{(a)}} \cdot \ln{(a)} \qquad & | \qquad e^{x\cdot \ln{(a)}} = a^x\\ y' &=& a^x \cdot \ln{(a)} \\ \mathbf{y'} &\mathbf{=}& \mathbf{ a^x \cdot \ln{(a)} }\\ \end{array}$