Gib eine Formel an, welche diese Gleichungen für allgemeines n=2,3... weiterführt und beweise die Formel mit vollständiger Induktion.
Induktionsanfang:
\(\left(1-\frac12 \right) = \frac12 \qquad \text{Die Behauptung gilt für } n=2\)
Induktionsvoraussetzung:
\(\text{Es gelte }\quad \prod \limits_{i=2}^{n}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) = \frac{1}{n}\)
Induktionsbehauptung:
\(\prod \limits_{i=2}^{n+1}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) = \frac{1}{n+1}\)
Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1 :\)
\(\begin{array}{rcl} \prod \limits_{i=2}^{n+1}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\underbrace{\prod \limits_{i=2}^{n}\left( 1 - \frac{1}{i} \right)}_{=\frac{1}{n}\ (\text{Induktionsannahme}) } \cdot \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{n+1-1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{n}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{n}{n}\cdot \left(\frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ = \frac{1}{n+1} & = & \frac{1}{n+1} \\ \end{array}\)
Im Induktionsschritt wurde bewiesen,
dass die Aussage - unter Voraussetzung, dass sie für n = 2 gilt -
auch für deren Nachfolger n+1 zutrifft. Also ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen \(n\ge2\) wahr.
\(n \in N\)
