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Was muss in ... rein damit es gleich ist ? und Wie kommt man drauf ?

(1+1/n)*....=(1+1/n+1)

 04.11.2015

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 #3
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Was muss in ... rein damit es gleich ist ? und Wie kommt man drauf ?

(1 + 1  / n ) *.... = ( 1+1 / (n + 1) )

 

\(\small{ \begin{array}{rcll} \left(1 + \frac{1}{ n } \right) \cdot x &=& \left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right) \\\\ x &=& \dfrac{\left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right)} {\left(1 + \frac{1}{ n } \right)} \\\\ x &=& \dfrac{\left( \frac{n+1+1}{ n+1 } \right)} {\left(\frac{n+1}{ n } \right)} \\\\ x &=& \dfrac{\left( \frac{n+2}{ n+1 } \right)} {\left(\frac{n+1}{ n } \right)} \\\\ x &=&\left( \frac{n+2}{ n+1 } \right)\cdot \left(\frac{ n }{n+1} \right) \\\\ x &=&\left( \frac{n}{ n+1 } \right)\cdot \left(\frac{ n+2 }{n+1} \right) \\\\ x &=&\frac{n(n+2)}{ (n+1)^2 }\\\\ \left(1 + \frac{1}{ n } \right) \cdot \color{red} \dfrac{n(n+2)}{ (n+1)^2 } &=& \left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right) \\\\ \end{array} }\)

laugh

 05.11.2015
bearbeitet von heureka  05.11.2015
bearbeitet von heureka  05.11.2015
 #1
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Hallo anonymous!

 

Was muss in ... rein damit es gleich ist ? und Wie kommt man drauf ?

(1+1/n)*....=(1+1/n+1)  
                     Die Unbekannte "x" einsetzen.


(1 + 1/n) * x = (1 + 1/n + 1)                Substitution: (1 + 1/n) = S

S * x = S + 1                                       Dividieren durch S

x = 1 + 1/S                                         Rücksubstitution S = (1 + 1/n)

 

x = 1 + 1 / (1 + 1/n)                            Dieser Term erfüllt die Ausgangsgleichung.                        

 

Probe:

 

S * (1 + 1/S) = S +1

S + 1 = S + 1                                                     okey

(1 + 1/n) * (1 + 1 / (1 + 1/n)) = (1 + 1/n + 1) 

(1 + 1/n) + 1 = (1 + 1/n + 1) 

2 + 1/n = 2 + 1/n                                                okey

 

Gruß asinus :- ) laugh

 04.11.2015
 #2
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Sry mein fehler hätte es besser darstellen sollen {nl} {nl} diese 1/n+1 ist nicht 1/n und +1 sondern 1 /(n+1) also n+1 ist der kompletter nenner, deswegen weißt ich auch nicht wie ich es machen soll.

Ist es dann einfach x= 1 + 1 / (1/(n+1)) ?

 04.11.2015
bearbeitet von Gast  04.11.2015
 #3
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Was muss in ... rein damit es gleich ist ? und Wie kommt man drauf ?

(1 + 1  / n ) *.... = ( 1+1 / (n + 1) )

 

\(\small{ \begin{array}{rcll} \left(1 + \frac{1}{ n } \right) \cdot x &=& \left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right) \\\\ x &=& \dfrac{\left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right)} {\left(1 + \frac{1}{ n } \right)} \\\\ x &=& \dfrac{\left( \frac{n+1+1}{ n+1 } \right)} {\left(\frac{n+1}{ n } \right)} \\\\ x &=& \dfrac{\left( \frac{n+2}{ n+1 } \right)} {\left(\frac{n+1}{ n } \right)} \\\\ x &=&\left( \frac{n+2}{ n+1 } \right)\cdot \left(\frac{ n }{n+1} \right) \\\\ x &=&\left( \frac{n}{ n+1 } \right)\cdot \left(\frac{ n+2 }{n+1} \right) \\\\ x &=&\frac{n(n+2)}{ (n+1)^2 }\\\\ \left(1 + \frac{1}{ n } \right) \cdot \color{red} \dfrac{n(n+2)}{ (n+1)^2 } &=& \left( 1+ \frac{1}{ n+1 } \right) \\\\ \end{array} }\)

laugh

heureka 05.11.2015
bearbeitet von heureka  05.11.2015
bearbeitet von heureka  05.11.2015

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