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Der Vollständigkeit halber bring' ich's mal noch zuende:
Diese Gleichung ist zu zeigen:

3+7+11+...+(4n-1) + (4(n+1)-1) = 2*(n+1)^2+(n+1)

(Beachtet bitte: In meiner ersten Antwort habe ich mich da vertippt, die letzte Klammer der linken Seite muss, wie oben, mit -1 enden, nicht wie in meiner ersten Antwort mit +1.)

Links nutzen wir die IV, um zu sagen:

3+7+11+...+(4n-1) + (4(n+1)-1) = 

2n^2 +n + 4n + 3 = 

2n^2 +5n + 3

Rechts müssen wir nur Klammern auflösen:

2*(n+1)^2+(n+1) =

2n^2 + 4n +2 +n+1 = 

2n^2 +5n +3

Wir sehen also: Beide Seiten der Gleichung sind gleich. Damit ist der Beweis vollständig.

Im Gradmaß ist der Wert tan(90) nicht definiert, im Bogenmaß ist tan(90) etwa -2.

Ja genau, passt! 

Danke, ich hatte die binomischen Formeln komplett vergessen, 

\((p-4q)^{n+1}\) ist dann das Endergebniss.

Was du sagst stimmt auf jeden Fall schonmal alles. Den Zähler zerlegen ist auch genau der richtige Schritt. 

Vielleicht reicht's dir ja schon, wenn ich dir folgenden Tipp geb: Dritte binomische Formel.

Frag' gern nochmal nach wenn du so noch nicht drauf kommst was zu tun ist ;)

Es geht ja um eine Summe von Logarithmen. Da wollte ich intuitiv die in meiner ersten Antwort genannte Regel benutzen. Dann entsteht im Logarithmus ein Produkt, dessen Faktoren erstmal alle die Form (1+1/k) für irgendein k haben. Da hätte ich dann Klammern auflösen müssen - das erschien mir sehr unangenehm. Also hab' ich darüber nachgedacht, wie man die 1+1/k umschreiben könnte, wofür dann (k+1)/k die naheliegendste Option ist. Den Rest hast du dann ja gesehen ;)

Ich hoff' das ist so nachvollziehbar, frag' gern noch mehr nach wenn was unklar ist!

Ich kann den Rechenweg nachvollziehen aber wie hast du gewusst das man 1+1/k in (k+1)/k umwandeln muss um weiterzukommen. 

Zunächst halten wir fest, dass 1+1/k = (k+1)/k für alle k gilt. Wir nutzen ein Logarithmus-Rechengesetz: ln(a)+ln(b) = ln(ab).

Es gilt dann:

\(\sum_{k=1}^n ln(\frac{k+1}{k}) = ln(\Pi_{k=1}^n \frac{k+1}{k}) = ln(\frac{(n+1)!}{n!}) = ln(n+1)\)

Gern! Hat's damit schon funktioniert, ja?

Danke!

Also der Anfang passt ja schonmal. Die IV funktioniert ein bisschen anders. Du sagst da quasi folgendes: Zunächst sei n irgendeine fest gewählte Zahl. Dann sei die Behauptung war für alle n>=1 - also für alle n. Wenn wir das voraussetzen könnten wäre ja nichts mehr zu zeigen. Korrekt sieht's so aus:

IV: Sei N eine natürliche Zahl. Die Behauptung sei wahr für alle n mit 1 => n => N. (kleinergleich, kein Folgepfeil :D )

Beim IS ist der Anfang nicht richtig - die Aussage, die wir zeigen wollen, ist nämlich

nicht  4*(n+1)=2*(n+1)^2+(n+1), sondern

3+7+11+...+(4n-1) + (4(n+1)+1) = 2*(n+1)^2+(n+1).

Dafür schauen wir uns die beiden Seiten der Gleichung genauer an, vereinfachen soweit wie möglich, nutzen irgendwo die IV und dann sind wir fertig. Die rechte Seite kannst du sicherlich selbst vereinfachen. In der linken müssen wir die IV benutzen. Siehst du, wie das klappen kann?

Jetzt kannst du sagen: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist und die aus den letzten 2 Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. 

Die PFZ hilft, weil sie dir sagt, welche "kleineren" Regeln du zusammenfassen musst.

Eine Zahl ist

- durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist

- durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten 2 Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist.

Inwieweit hilft mir bei der allgemeinen Regel die PFZ von 12 = 2²​ ⋅ 3 = 4 ⋅ 3

Für die Division durch 12 kannst du bestimmt was finden: Es ist ja 12=4*3, d.h. eine Zahl, die durch 12 teilbar ist, muss die Teilbarkeitsregeln für 4 und 3 erfüllen. Wann ist denn eine Zahl durch 3 bzw. 4 teilbar?

Für die b) muss ich selbst erst ein bisschen überlegen, da schreib ich nochmal wenn ich's ordentlich erklären kann.

Hallo Gast!

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier 90° -  Innenwinkeln. Es hat eine Länge a und eine Breite b. Der Flächeninhalt errechnet sich mit Länge mal Breite:       A = a  * b 

Du musst für a und b gleiche Längeneinheiten verwenden. In Europa, ausgenommen das Vereinigte Königreich Großbritanien, ist das der Meter und seine Teil - bzw. Vielfacheinheiten.

  !

Errechne  4/3 • Pi • 10^3 mit dem web2.0rechner

Hallo Gast!

Gib ein:

4   \(\div\)   3   \(\times\)   \(\pi\)   \(\times\)   \(10^x\)  3   =

Ergebnis: 4188,7902...   

Wenn Feld  \(\pi\)  nicht sichtbar ist, betätige Feld  \(2^{nd}\).  Es erscheint  \(\pi\) in der oberen Reihe, Feld 2.

  !

Ahja, da hast du natürlich Recht, ja - danke!

Die beiden Zahlen haben zusätzlich zum gewünschten ggT 10 noch den Faktor 2 gemeinsam. Das macht's falsch.

Korrekt wäre dann zB. a=10*4=40 und b=10*15=150. Es beginnt also immer mit dem ggT, danach werden die übrigen Primfaktoren irgendwie auf a und b aufgeteilt. In meinem neuen Beispiel 40 und 150 hat a alle 2er bekommen, b hingegen 3 und 5.

Dann ist dein gewähltes Beispiel mit a=100 und b=60 aber nicht korrekt, oder?!

Da kommt in beiden Zahlen zusätzlich zur 10 jeweils die 2 als Faktor vor und der ggT ist somit nicht 10, sondern 20, oder?!

So ziemlich - sie dürfen auch nicht mehr gemeinsam haben. Beispielsweise wäre das kgV von 100 und 600 ja auch 600, aber der ggT ist nicht 10. Die beiden Zahlen müssen sich also immer beide den ggT enthalten, dürfen keine weiteren Faktoren gemeinsam haben und müssen zusammen die PFZ des kgV enthalten.

Kann also gesagt werden, dass alle Kombinationen der Faktoren der PFZ von ggT und kgV möglich sind, solange alle Faktoren vorkommen und a und b jeweils 2*5 = 10 gemeinsam haben?

Es gilt 600=2*2*2*3*5*5 = 10*10*2*3.

Die Zahlen a & b müssen auf jeden Fall den Faktor 10 gemeinsam haben, mehr aber nicht. Insgesamt müssen aber alle Faktoren vorkommen, sodass kgV=600 erfüllt ist. 
Eine Möglichkeit wäre a=10*10=100 und b=10*2*3=60. Eine weitere (die immer funktioniert) ist a=ggT=10 und b=kgv=600.

Siehst du schon, wie man die b) angreifen kann?

Gern, aber es sind nicht 596,5. Im letzten Schritt teilst du durch 0,5, dann wird dein Endergebnis größer, nicht kleiner. Du solltest bei 2386 'rauskommen.