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Hallo zusammen, ich komm bei meiner vollständigen Induktion gerade nicht weiter, wäre cool wenn mir einer dabei helfen könnte :) undzwar muss ich eine vollständige Induktion von 3+7+11+...+(4n-1)=2n^2+n, für alle n>=1 machen...

Mein Ansatz wäre:

IA: n=1 -> 4*1-1=2*1^2+1 => 3=3 

IV: Sei n Element lN und die Behauptung gelte für alle n>=1.

IS (hier komme ich nicht weiter):  n=(n+1) -> 4*(n+1)=2*(n+1)^2+(n+1)

 

Danke schonmal für die Hilfe! 

 17.07.2022
 #1
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Also der Anfang passt ja schonmal. Die IV funktioniert ein bisschen anders. Du sagst da quasi folgendes: Zunächst sei n irgendeine fest gewählte Zahl. Dann sei die Behauptung war für alle n>=1 - also für alle n. Wenn wir das voraussetzen könnten wäre ja nichts mehr zu zeigen. Korrekt sieht's so aus:

IV: Sei N eine natürliche Zahl. Die Behauptung sei wahr für alle n mit 1 => n => N. (kleinergleich, kein Folgepfeil :D )

 

Beim IS ist der Anfang nicht richtig - die Aussage, die wir zeigen wollen, ist nämlich

 

nicht  4*(n+1)=2*(n+1)^2+(n+1), sondern

 

3+7+11+...+(4n-1) + (4(n+1)+1) = 2*(n+1)^2+(n+1).

 

Dafür schauen wir uns die beiden Seiten der Gleichung genauer an, vereinfachen soweit wie möglich, nutzen irgendwo die IV und dann sind wir fertig. Die rechte Seite kannst du sicherlich selbst vereinfachen. In der linken müssen wir die IV benutzen. Siehst du, wie das klappen kann?

 17.07.2022
 #2
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Danke!

momo123  18.07.2022
 #3
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Gern! Hat's damit schon funktioniert, ja?

Probolobo  18.07.2022
 #4
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Der Vollständigkeit halber bring' ich's mal noch zuende:
Diese Gleichung ist zu zeigen:

 

3+7+11+...+(4n-1) + (4(n+1)-1) = 2*(n+1)^2+(n+1)

 

(Beachtet bitte: In meiner ersten Antwort habe ich mich da vertippt, die letzte Klammer der linken Seite muss, wie oben, mit -1 enden, nicht wie in meiner ersten Antwort mit +1.)

 

Links nutzen wir die IV, um zu sagen:

3+7+11+...+(4n-1) + (4(n+1)-1) = 

2n^2 +n + 4n + 3 = 

2n^2 +5n + 3

 

Rechts müssen wir nur Klammern auflösen:

2*(n+1)^2+(n+1) =

2n^2 + 4n +2 +n+1 = 

2n^2 +5n +3

 

Wir sehen also: Beide Seiten der Gleichung sind gleich. Damit ist der Beweis vollständig.

Probolobo  20.07.2022

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