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Folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie fur beliebige n ∈ N den Wert der Summe SZ(k=1;n):ln(1+1/k)    // SZ steht für Summenzeichen

 

Ich lese aus der Frage heraus, dass das Summenzeichen verschwinden soll und ich hab herausgefunden

SZ(k=1;n) k = (n*(n+1))/2 wahrscheinlich der Punkt ist an dem ich anfangen muss mit Umformen aber ich habe keine Ahnung, wie ich hier weitermachen soll.

 18.07.2022
 #1
avatar+3730 
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Zunächst halten wir fest, dass 1+1/k = (k+1)/k für alle k gilt. Wir nutzen ein Logarithmus-Rechengesetz: ln(a)+ln(b) = ln(ab).

Es gilt dann:

 

\(\sum_{k=1}^n ln(\frac{k+1}{k}) = ln(\Pi_{k=1}^n \frac{k+1}{k}) = ln(\frac{(n+1)!}{n!}) = ln(n+1)\)

 18.07.2022
 #2
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Ich kann den Rechenweg nachvollziehen aber wie hast du gewusst das man 1+1/k in (k+1)/k umwandeln muss um weiterzukommen. 

Gast 18.07.2022
 #3
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Es geht ja um eine Summe von Logarithmen. Da wollte ich intuitiv die in meiner ersten Antwort genannte Regel benutzen. Dann entsteht im Logarithmus ein Produkt, dessen Faktoren erstmal alle die Form (1+1/k) für irgendein k haben. Da hätte ich dann Klammern auflösen müssen - das erschien mir sehr unangenehm. Also hab' ich darüber nachgedacht, wie man die 1+1/k umschreiben könnte, wofür dann (k+1)/k die naheliegendste Option ist. Den Rest hast du dann ja gesehen ;)

 

Ich hoff' das ist so nachvollziehbar, frag' gern noch mehr nach wenn was unklar ist!

Probolobo  18.07.2022

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