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Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + iy mit x, y ∈ R und dokumentieren Sie Ihre Zwischenschritte:

Hallo Gast!

Ich deute den Inhalt des eingerahmten (unvollständigen) LaTeX-Textes der Frage wie  folgt:

\({\color{BrickRed}(1+2 i)^{2}}=2+4i-4=\color{blue}-2+4i\)

\(\large {\color{BrickRed}\frac{2-i}{2+i}}\)  \(=\frac{2-i}{2+i} \times \frac{2-i}{2-i}=\frac{4-4i-1}{4+1}=\color{blue}1-\frac{4}{5}i\)

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Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + iy mit x, y ∈ R und dokumentieren Sie Ihre Zwischenschritte:

Hallo Gast!

Ich deute den angegebenen Term \(\frac{\overline{1+3 i}}{\overline{1-3 i}} \)wie folgt:

\(\Large {\color{BrickRed}\frac{\frac {1}{2i}}{ \frac{1+3i}{1-3i} }}=\frac{1}{2i}\times\frac{1-3i}{1+3i}=\frac{1-3i}{2i-6}\times\frac{2i+6}{2i+6}\)

\(=\large \frac{2i+6+6i-18i}{-4-36}=\) \(\large \frac{-6+10i}{40} =\color{blue}-\frac{3}{20}+\frac{1}{4}i\)

\(\Large \frac{\frac {1}{2i}}{ \frac{1+3i}{1-3i} }=-\frac{3}{20}+\frac{1}{4}i\)

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Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind. Begru ̈nden Sie Ihre Antwort.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !^{n}}{n^{n^{2}}} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(3+(-1)^{n}\right)^{-n} \)

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{2^{n} n !} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n !}} \)

In welche zahl passt die sieben 18 mal?

Hallo Gast!

\(7\cdot 18=126\)

Die sieben passt 18 mal in die Zahl 126.

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Also hundertzwei mal.

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Die Frage ist etwas zu allgemein, um sie hier zielführend zu beantworten.

Vielleicht hilft dir diese Seite

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/bruchrechnung-grundlagen-uebersicht.html

und die unter "Bruchrechnung: Die Themen" verlinkten Seiten weiter, da wird alles Schritt für Schritt erklärt.

Ähnliches findest du, wenn du beispielsweise "Bruchrechnen Tutorial" googlest, was anderes hab ich dafür auch nicht gemacht.

Was ist denn hier zu tun?
Würds erstmal so interpretieren:

\(400000 \cdot 1,1^5-60000 \cdot 1,1^5-\frac{1}{1,1}-1\)

Dafür liefert der Rechner - ich habe tatsächlich nur deine Angabe kopiert und in den Rechner eingefügt - den Wert 547571.49.

\(y=R-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4R^2-S^2} \ \ |-R \\ y-R -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4R^2-S^2} \ \ | \cdot(-2) \\ 2R-2y=\sqrt{4R^2-S^2} \ \ |^2 \\ (2R-2y)^2 = 4R^2-S^2 \\ 4R^2-8Ry+4y^2=4R^2-S^2 \ \ | -4R^2 \\ 4y^2-8Ry=-S^2 \ \ | \cdot(-1) \\ 8Ry-4y^2=S^2 \ \ | \sqrt. \\ \sqrt{8Ry-4y^2} =S\)

Freilich, ich hoff das ist verständlich so!

Das ist so ohne weitere Angaben leider nicht lösbar. 

Eventuell hast du nur einen Teil des Angabentextes gepostet - dann wäre es gut, wenn du den Rest noch nachreichst.

613/6 = 102.1666666666666667

\(7 = {x\over 18}\Rightarrow x=7\cdot18=126\)

Vielen Dank!

Ein Floß hat die Dicke 0,4m und eine Fläche von 1,6m2. Es sinkt im Wasser 0,3m ein. Wie groß ist die Dichte des Holzes?

Hallo Gast!

\(V_{Floß}\cdot \rho_{Holz}=V_{Eintauch}\cdot \rho _{Wasser}\\ \rho_{Holz}=(Fl\ddot ache\cdot0,3m\cdot\frac{1000kg}{m^3})/(Fl\ddot ache\cdot 0,4m)\)

\( \rho_{Holz}=750kg/m^3\)

Wie du siehst, hat die Größe der Fläche des Floßes keinen Einfluss.

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Wie kann ich die Lösung als Bruch anzeigen lassen ?

Hallo Gast!

Klicke den Link. Dort habe ich es vor kurzem erklärt.

(1) ist einer (Nachzurechnen ist: ist für (x,y,z,w) und (x',y',z',w') aus der gegebenen Menge auch  (x,y,z,w)+k*(x',y',z',w') in der Menge? -> Erfüllt  (x,y,z,w)+k*(x',y',z',w') die definierende Gleichung, wenn die ersten beiden Vektoren das tun?)

(2) ist keiner, da beispielsweise für f & g aus der Menge f+g nicht in der Menge ist, denn (f+g)(i)=f(i)+g(i)=1+1=2 ungleich 1!

(3) hier bin ich nicht sicher, was genau gemeint ist. Ist "RN" \(\mathbb{R}^\mathbb{N} =V\) und die gegebene Menge besteht aus folgen, deren Einträge sich jeweils verdoppeln, also beispielsweise (1,2,4,8,16, ... ) und (3,6,12,24,48, ...)?

(ii) ist falsch, man betrachte das Gegenbeispiel \(V=\mathbb{R}^2, U= , U'= \rightarrow e_1+e_2 \notin U \cup U', aber \ e_1 \in U \cup U' \& e_2 \in U \cup U'\) .

..dann halt als Bild, irgendwie will web2.0 meine Antwort gerade nicht anders^^

Nun zu den wahren Aussagen: 
(i) Ist v ein Vektor aus , so ist v=k*w für ein k aus dem Körper. Daher ist auch w=k-1 * v und w daher auch in .

(ii) Ist ein Vektor v aus

Zunächst sag' ich dazu mal, dass die Aussagen (i), (ii), (iv) und (v) wahr sind, (iii) aber falsch ist. 

Dass (iii) falsch ist, erkennt man leicht an folgendem Gegenbeispiel:

\(V=\mathbb{R}; A= \{ 1 \}; B= \{2\}\).

Nun zu den wahren Aussagen: 
(i) Ist v ein Vektor aus , so ist v=k*w für ein k aus dem Körper. Daher ist auch w=k-1 * v und w daher auch in .

(ii) Ist ein Vektor v aus

vielen dank 

(i)
Die einzige Abbildung, die eine einelementige Menge auf sich selbst abbildet, ist die Identität. Diese ist offenbar injektiv, damit ist der Induktionsanfang fertig.

Wir nehmen nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n stimmt (X) und folgern daraus, dass sie auch für n+1 stimmen muss.

Sei also f : M → M eine injektive Abbildung und |M|=n+1. Sei weiterhin m ein Element aus M. 

Weil f injektiv ist, ist auch die Einschränkung \(f'=f|_{M \backslash \{ m \} }\) eine injektive Abbildung. Die Injektivität von f sagt uns außerdem, dass wir aus der Bildmenge von f' problemlos f(m) entfernen können, da f(m) kein anderes Urbild als m haben kann. 

Damit ist f' : M\{m}  → M\{f(m)} eine injektive Abbildung zwischen zwei n-elementigen Mengen, die nach (X) auch surjektiv sein muss. 

Also hat jedes Element in M\{f(m)} ein f-Urbild in M - aber f(m) hat auch ein Urbild in M, nämlich m. Insgesamt hat also jedes Element in M ein Urbild in M, also ist f auch surjektiv.

(ii) Die Aussage gilt auch andersrum, ja: 

Wäre die Abbildung f : M → M nicht injektiv und |M|=n, so gäbe es m,m' in M, die ungleich sind, für die aber gilt f(m)=f(m'). In M\{m,m'} sind dann noch n-2 Elemente enthalten, die Bildmenge f(M\{m,m'}) hat also maximal n-2 Elemente. Da die Bildmenge f(M) aber die Vereinigung von f(M\{m,m'}) und {f(m)} ist (da ja f(m)=f(m') muss f(m') nicht mehr erwähnt werden), ist |f(M)| kleiner oder gleich n-2+1 und daher |f(M)|

Man kann dazu ein Gleichungssystem aufstellen. Dafür sei x die Anzahl der Töchter und y die Anzahl der Söhne.

Dann hat jede Tochter x-1 Schwestern (da ja keine Tochter ihre eigene Schwester ist) und jeder Sohn x-1 Brüder.

Der Text liefert uns nun zwei Gleichungen:

Für die Töchter:
x=y-1

Für die Söhne:

y=2(x-1)

Um das Gleichungssystem zu lösen, setze ich die erste Gleichung in die zweite ein (Wäre sie nicht bereits nach x aufgelöst, müsste man das vorher machen.):

y=2((y-1)-1)

y=2(y-2)

y=2y-4    |-y

0=y-4     |+4

4=y

Diesen Wert setze ich nun in die erste Gleichung ein, um x zu erhalten:

x=4-1=3

Die Familie hat also drei Töchter (und vier Söhne, aber nach denen war ja nicht gefragt).

3,14159 Es gibt aber unendlich weitere Stellen

Weil modulo 543 gerechnet wird: 542=542-543=-1 mod 543

warum ist 542^9999999999 = (-1)^9999999999 ?

https://de.wikipedia.org/wiki/Zahlennamen#Billion,_Billiarde_und_darüber_hinaus

Vielleicht hilft dir das weiter - es gibt für sehr viele große Zahlen die entsprechenden Zahlwörter.

Zwei Trillionen gibt es, "drilionen" gibt es nicht.