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Handelt es sich bei den folgenden Teilmengen um Untervektorräume?

(1) {(x,y,z,w)∈Q4 |x+y−(z+w)2 =1}⊆Q4

(2) {f ∈ C[x] | f(i) = 1} ⊆ C[x], wobei wir C[x] als C-Vektorraum au􏰀assen

(3){(a) ∈RN |a =a +a fürallei≥0}⊆RN,wobeidieAdditionund i i∈N i+2 i+1 i

Skalarmultiplikation auf RN komponentenweise de􏰁niert ist (wie bei Rn für n ∈ N).

(ii)  Ist die Vereinigung zweier Untervektorräume U und U′ eines Vektorraumes V wieder ein

Untervektorraum? Beweisen oder widerlegen Sie.

 14.12.2020
 #1
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(1) ist einer (Nachzurechnen ist: ist für (x,y,z,w) und (x',y',z',w') aus der gegebenen Menge auch  (x,y,z,w)+k*(x',y',z',w') in der Menge? -> Erfüllt  (x,y,z,w)+k*(x',y',z',w') die definierende Gleichung, wenn die ersten beiden Vektoren das tun?)

(2) ist keiner, da beispielsweise für f & g aus der Menge f+g nicht in der Menge ist, denn (f+g)(i)=f(i)+g(i)=1+1=2 ungleich 1!

(3) hier bin ich nicht sicher, was genau gemeint ist. Ist "RN" \(\mathbb{R}^\mathbb{N} =V\) und die gegebene Menge besteht aus folgen, deren Einträge sich jeweils verdoppeln, also beispielsweise (1,2,4,8,16, ... ) und (3,6,12,24,48, ...)?

 

(ii) ist falsch, man betrachte das Gegenbeispiel \(V=\mathbb{R}^2, U= , U'= \rightarrow e_1+e_2 \notin U \cup U', aber \ e_1 \in U \cup U' \& e_2 \in U \cup U'\) .

 14.12.2020

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