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Berechnen Sie im Ring Z/nZ:
(1) 4(3 · 30 − 2), wobei n = 38
(2) 5429999999999, wobei n = 543
(3) 6−1· 52 + 3−12−1, wobei n = 7
Ihre Ergebnisse müssen dabei jeweils als eine der Zahlen 0, . . . , n − 1 angegeben werden.
(ii) Sei n ∈ N mit (n nicht gleich 0). Zeigen Sie, dass die Multiplikation auf Z/nZ assoziativ ist.

 10.12.2020
 #1
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(1) Es ist 4(3·30-2)=4·(90-2)=4·88=176 = 24 mod 38.

(2) 5429999999999 = (-1)9999999999 = -1 = 542 mod 543 (da 9999999999 ungerade)

(3) Zunächst bestimme ich die Inversen:

6-1 = 6, denn 6·6=36=1 mod 7

2-1 = 4, denn 2·4=8=1mod7

3-1 = 5, denn 3·5=15=1mod7

Also ist  6−1· 52 + 3−12−1 = 6 · 25 + 4 · 5 = 150+20=170=2 mod 7

 

Die Multiplikation ist assoziativ, weil die Multiplikation im Ring der ganzen Zahlen schon assoziativ ist und die Multiplikation der Restklassen in Z/nZ durch die "herkömmliche" Multiplikation definiert ist. Ich nenn' dafür mal x* die Restklassen in Z/nZ, wobei x ein Repräsentant ist. 

Dann ist x*· (y* · z*) = x* · (yz)* = (x ·(yz))* = ((xy)* · z*) = (x* ·y*) · z* eben aufgrund der Defintion der Multiplikation in Z/nZ und wegen der Assoziativität der Multiplikation in Z.

 10.12.2020
 #2
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vilen dank

Gast 11.12.2020
 #3
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warum ist 5429999999999 = (-1)9999999999 ?

Gast 13.12.2020
 #4
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Weil modulo 543 gerechnet wird: 542=542-543=-1 mod 543

Probolobo  13.12.2020

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