Berechnen Sie im Ring Z/nZ:
(1) 4(3 · 30 − 2), wobei n = 38
(2) 5429999999999, wobei n = 543
(3) 6−1· 52 + 3−12−1, wobei n = 7
Ihre Ergebnisse müssen dabei jeweils als eine der Zahlen 0, . . . , n − 1 angegeben werden.
(ii) Sei n ∈ N mit (n nicht gleich 0). Zeigen Sie, dass die Multiplikation auf Z/nZ assoziativ ist.
+3976 (1) Es ist 4(3·30-2)=4·(90-2)=4·88=176 = 24 mod 38.
(2) 5429999999999 = (-1)9999999999 = -1 = 542 mod 543 (da 9999999999 ungerade)
(3) Zunächst bestimme ich die Inversen:
6-1 = 6, denn 6·6=36=1 mod 7
2-1 = 4, denn 2·4=8=1mod7
3-1 = 5, denn 3·5=15=1mod7
Also ist 6−1· 52 + 3−12−1 = 6 · 25 + 4 · 5 = 150+20=170=2 mod 7
Die Multiplikation ist assoziativ, weil die Multiplikation im Ring der ganzen Zahlen schon assoziativ ist und die Multiplikation der Restklassen in Z/nZ durch die "herkömmliche" Multiplikation definiert ist. Ich nenn' dafür mal x* die Restklassen in Z/nZ, wobei x ein Repräsentant ist.
Dann ist x*· (y* · z*) = x* · (yz)* = (x ·(yz))* = ((xy)* · z*) = (x* ·y*) · z* eben aufgrund der Defintion der Multiplikation in Z/nZ und wegen der Assoziativität der Multiplikation in Z.
