Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie: (i) Sindv,w∈V \{0}mitv∈⟨w⟩,sogiltauchw∈⟨v⟩.
(ii) Sind A und B Teilmengen von V mit A ⊆ ⟨B⟩, so gilt ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩.
(iii) Für alle Teilmengen A und B von V gilt ⟨A ∩ B⟩ = ⟨A⟩ ∩ ⟨B⟩.
(iv) SindAundBTeilmengenmit⟨A∪B⟩=⟨A⟩∪⟨B⟩,sogilt⟨A⟩⊆⟨B⟩oder⟨B⟩⊆⟨A⟩.
(v) Jeder Untervektorraum U von V ist Span einer Teilmenge A ⊆ V .
+3976 Zunächst sag' ich dazu mal, dass die Aussagen (i), (ii), (iv) und (v) wahr sind, (iii) aber falsch ist.
Dass (iii) falsch ist, erkennt man leicht an folgendem Gegenbeispiel:
\(V=\mathbb{R}; A= \{ 1 \}; B= \{2\}\).
Nun zu den wahren Aussagen:
(i) Ist v ein Vektor aus , so ist v=k*w für ein k aus dem Körper. Daher ist auch w=k-1 * v und w daher auch in .
(ii) Ist ein Vektor v aus
Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind. Begru ̈nden Sie Ihre Antwort.
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !^{n}}{n^{n^{2}}} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(3+(-1)^{n}\right)^{-n} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{2^{n} n !} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n !}} \)
